PROBLEMAS RESUELTOS DE FÍSICA
ejercicios resueltos de electromagnetismo

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Ejercicios resueltos de electromagnetismo

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Ejercicios de Electromagnetismo

Respuesta al ejercicio 44

Suponiendo radial la diección del campo , por aplicación del teorema de Gauss a un punto exterior a R tenemos:
    \( \displaystyle \begin{array}{l} D4\pi r^2 = \int_o^R \rho_o \left(1-\frac{r}{R}\right)4\pi r^2 dr = \\ \\ 4\pi\rho_o\left[\int_o^R r^2 dr - \int_o^R \frac{r32}{R} dr \right] = \rhoˇ\frac{\pi}{3}R^3 \end{array}\)
Y a partir de ahí:
    \( \displaystyle D= \rho_o\frac{R^3}{12r^2}\; ; \; E = \frac{D}{\varepsilon_o} = \rho_o\frac{R^3}{12\varepsilon_or^2}\)
En el interior debido a que la permitividad relativa del medio es 1, mantenemos la misma constante dieléctrica pero se tendrá:
    \( \displaystyle\begin{array}{l} D4\pi r^2 = \int_o^r \rho_o \left(1-\frac{r}{R}\right)4\pi r^2 dr \; ; \; D4\pi r^2 = \\ \\ 4\pi\rho_o\left(\frac{1}{3}r^3 - \frac{1}{4R}r^4\right) \end{array} \)
de donde resulta:
    \( \displaystyle D_{int} = \rho_o \left(\frac{r}{3} - \frac{r^2}{4R}\right)\rightarrow \;E_{int} = \frac{\rho_o}{\varepsilon_o} \left(\frac{r}{3} - \frac{r^2}{4R}\right) \)
Por todo ello , la energía potencial valdrá :
    \( \displaystyle \begin{array}{l} U = \int_o^\infty \frac{1}{2}\varepsilon E^2 dv = \int_o^R \frac{1}{2}\varepsilon_o\frac{\rho_o^2}{\varepsilon_o^2}\left(\frac{r}{3} - \frac{r^2}{4R}\right)^24 \pi r^2 dr + \\ \\ + \int_R^\infty \frac{1}{2}\varepsilon_o\frac{\rho_o^2}{\varepsilon_o^2}\left(\frac{r^3}{12r^2}\right)^24 \pi r^2 dr \end{array} \)
y operando:
    \( \displaystyle\begin{array}{l} U = \frac{\rho_o^2}{2\varepsilon_o} 4\pi\left\{\left[\frac{r^5}{45} + \frac{r^7}{112R^2} - \frac{r^6}{36R}\right]_0^R + \left[- \frac{R^6}{144r}\right]_R^\infty\right\}= \\ \\ \frac{\rho_o^2\pi}{2\varepsilon_o}R^5ˇ\frac{13}{1260} \end{array} \)
PROBLEMAS RESUELTOS DE ELECTROMAGNETISMO
 


tema escrito por: José Antonio Hervás