PROBLEMAS RESUELTOS
DE FÍSICA
ejercicios resueltos de electromagnetismo

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Ejercicios resueltos de electromagnetismo

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Ejercicios de Electromagnetismo

En un medio dielectrico de constante dieléctrica \(\varepsilon \) se considera aislada una distribución de densidad constante \(\rho\) , ocupando una esfera de radio R. Calcular la energía electrotática del sistema.

Respuesta al ejercicio 43

Suponiendo que la diección del campo es radial, por aplicación del teorema de Gauss pomos escribir:
    \( \displaystyle D·S = \rho·V \; ; \;D·4\pi r^2S = \rho·V\rightarrow D = \rho\frac{V}{4\pi r^2} \)
Y de ahí podemos hacer :
    \( \displaystyle \begin{array}{l} V_{int} = \frac{4}{3}\pi·r^3 \; ; \; V_{ext} = \frac{4}{3}\pi·R^3 \rightarrow \\ \\ D_{int}= \rho\frac{r}{3}\; ; \; D_{ext} = \frac{\rho R^3}{3r^2} \end{array}\)
Y considerando que dentro de la distribución la constante dieléctrica es \(\varepsilon_o\), tenemos:
    \( \displaystyle E _{int} = \frac{D_{int}}{\varepsilon_o}=\frac{\rho·r}{3\varepsilon_o} \; ; \; E_{ext} =\frac{D_{ext}}{\varepsilon}=\frac{\rho R^3}{3\varepsilon r^2}\)
Con lo que la energía potencial asociada al sistema será:
    \( \displaystyle \begin{array}{l} U =\int_o^R \frac{1}{2}\varepsilon_o \frac{\rho^2·r^2}{9\varepsilon_o^2}4\pi r^2 dr +\int_R^\infty \frac{1}{2}\varepsilon \frac{\rho^2·R^6}{9\varepsilon^2r^4}4\pi r^2 dr = \\ \\ \frac{2}{9} \frac{\rho^2\pi}{\varepsilon_o}\int_o^R r^4 dr + \frac{2}{9} \frac{\rho^2\pi R^6}{\varepsilon}\int_o^R \frac{dr}{r^2} =\frac{2}{45} \frac{\rho^2\pi}{\varepsilon_o}R^5 + \frac{2}{9} \frac{\rho^2\pi}{\varepsilon}R^5 \end{array} \)
PROBLEMAS RESUELTOS DE ELECTROMAGNETISMO
 


tema escrito por: José Antonio Hervás