Ejercicios de Electromagnetismo
Se disponen de forma alternada un número infinito de cargas
positivas y negativas sobre una línea recta. La separación
entre las cargas adyacentes es la misma e igual a r. demostrar
que la energía potencial de una carga es:
\( \displaystyle E_p = - \frac{q^2}{2 \pi \varepsilon_0 r} \ln
(2) \)
Respuesta al ejercicio 39
El potencial en un punto viene dado por la expresión:
\( \displaystyle V = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \sum \limits_i^n
\frac{q_i}{r_i} \)
Si consideramos que en dicho punto hay una carga q y que todas
las qi tienen el mismo valor absoluto, podemos poner:
\( \displaystyle E_p = qV = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \sum
\limits_i^n \frac{q_i^2}{r_i} \)
Sea cual sea la carga que consideremos, contiguas a ella, habrá
dos cargas de signo contrario y a continuación dos del
mismo signo a una distancia 2r. Así pues, tendremos:
\( \displaystyle \begin{array}{l} E_p = \frac{2q^2}{4 \pi \varepsilon_0
r} + \frac{2q^2}{4 \pi \varepsilon_0 2r} - \frac{2q^2}{4 \pi
\varepsilon_0 3r} + ··· = \\ \\ - \frac{q^2}{2 \pi \varepsilon_0
r}\left(1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} + ··· \right)
\end{array}\)
Y considerando el desarrollo en serie de la función Ln(1+x)
particularizado para x = 1, nos quedará finalmente:
\( \displaystyle E_p = - \frac{q^2}{2 \pi \varepsilon_0 r}·
\ln 2 \)
PROBLEMAS
RESUELTOS DE ELECTROMAGNETISMO |
|
|
|
|