Ejercicios de Electromagnetismo

Se disponen de forma alternada un número infinito de cargas positivas y negativas sobre una línea recta. La separación entre las cargas adyacentes es la misma e igual a r. demostrar que la energía potencial de una carga es:

\( \displaystyle E_p = - \frac{q^2}{2 \pi \varepsilon_0 r} \ln (2) \)

Respuesta al ejercicio 39

El potencial en un punto viene dado por la expresión:

\( \displaystyle V = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \sum \limits_i^n \frac{q_i}{r_i} \)

Si consideramos que en dicho punto hay una carga q y que todas las qi tienen el mismo valor absoluto, podemos poner:

\( \displaystyle E_p = qV = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \sum \limits_i^n \frac{q_i^2}{r_i} \)

Sea cual sea la carga que consideremos, contiguas a ella, habrá dos cargas de signo contrario y a continuación dos del mismo signo a una distancia 2r. Así pues, tendremos:

\( \displaystyle \begin{array}{l} E_p = \frac{2q^2}{4 \pi \varepsilon_0 r} + \frac{2q^2}{4 \pi \varepsilon_0 2r} - \frac{2q^2}{4 \pi \varepsilon_0 3r} + ··· = \\ \\ - \frac{q^2}{2 \pi \varepsilon_0 r}\left(1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} + ··· \right) \end{array}\)

Y considerando el desarrollo en serie de la función Ln(1+x) particularizado para x = 1, nos quedará finalmente:

\( \displaystyle E_p = - \frac{q^2}{2 \pi \varepsilon_0 r}· \ln 2 \)