Ejercicios de Electromagnetismo
Respuesta al ejercicio 38
Aplicando la ley de Gauss tenemos:
\( \displaystyle div \quad \vec{D} = \rho_{libre} \rightarrow
\int \limits_V div \; \vec{D}ˇ dv = \int \limits_S \vec{D} ˇ
d\vec{S} = q\quad ; D ˇ 4 \pi r^2 = q \)
Y recordando la relación entre E y D:
\( \displaystyle D = \frac{q}{4 \pi r^2} \rightarrow E = \frac{D}{\varepsilon} = \frac{q}{4 \pi \varepsilon r^2} \)
Con lo que podemos hacer:
\( \displaystyle U = \int \limits_V = \frac{1}{2}ˇ \varepsilon E^2 ˇ d V = \int \limits_a^R \frac{q^2}{32 \pi ^2 \varepsilon r^4} ˇ 4 pi r^2 dr = \frac{q^2}{8 \pi \varepsilon}ˇ\frac{R-a}{Rˇa} \)
Si la permitividad varía con el campo en la forma indicada
en el enunciado, tenemos:
\( \displaystyle E = \frac{q}{4 \pi r^ˇkˇE} \rightarrow E =
\sqrt{\frac{q}{4 \pi r^2ˇk}} \)
Y en ese caso, la energía potencial vale:
\( \displaystyle U = \int \limits_a^R \frac{1}{2}ˇkE^3ˇ4 \pi
r^2 dr = \int \limits_a^R \frac{1}{2}ˇkˇ\left(\frac{q}{4 \pi
r^2ˇk}\right)^{3/2}ˇ4 \pi r^2 dr = \frac{1}{4}\sqrt{\frac{q^3}{\pi
k}}ˇ \ln \left(\frac{R}{a}\right) \)
PROBLEMAS RESUELTOS - ELECTROMAGNETISMO |
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