Ejercicios de Electromagnetismo
Respuesta al ejercicio 37
Podemos considerar que el conductor interior es un hilo y, por
tanto, tiene una distribución interior de carga lineal.
Aplicando el teorema de Gauss resulta:
\( \displaystyle E ˇ 2 \pi r ˇl = \frac{q}{\varepsilon_r \varepsilon_0} = \frac{\lambda ˇ l}{\varepsilon_r \varepsilon_0} \rightarrow E = \frac{\lambda}{2 \pi r \varepsilon_r \varepsilon_0} \)
Y, por otro lado:
\( \displaystyle 25000 V = - \int \limits_{R_2}^{R_1} \frac{\lambda
ˇ dr}{2 \pi r \varepsilon_r \varepsilon_0} = \frac{\lambda}{2
\pi \varepsilon_r \varepsilon_0} ˇ \ln \left(\frac{R_2}{R_1}\right)
\)
Con lo cual nos queda:
\( \displaystyle \lambda = \frac{25000 \times 2 \pi \varepsilon_r \varepsilon_0 }{\displaystyle \ln \left(\frac{R_2}{R_1}\right)} \)
Y de ese modo resulta para el campo eléctrico:
\( \displaystyle E = = \frac{\lambda}{2 \pi r \varepsilon_r \varepsilon_0} = \frac{25000 \times 2 \pi \varepsilon_r \varepsilon_0 }{\displaystyle \ln \left(\frac{R_2}{R_1}\right)} \times \frac{1}{2 \pi r \varepsilon_r \varepsilon_0} = \frac{25000}{r ˇ \ln (5)} \)
Tenemos ahora que la expresión general para la fuerza
sobre el dieléctrico es:
\( \displaystyle \vec{F} = \int \limits_V \frac{\varepsilon_r - 1}{\varepsilon_r} \; \nabla \left(\frac{1}{2}ˇ\varepsilon_0 E^2\right) d V = \int \limits_V \frac{\varepsilon_r - 1}{\varepsilon_r} ˇ \frac{1}{2}ˇ\varepsilon_0 \; grad \left(\frac{25000}{r ˇ \ln (5)}\right)^2 d V \)
Y operando:
\( \displaystyle \vec{F} = \int \limits_{R_2}^{R_1} \frac{\varepsilon_r
- 1}{2ˇ\varepsilon_r} ˇ \varepsilon_0 \left(\frac{25000}{ \ln
(5)}\right)^2 ˇ \frac{1}{r^3}ˇ 2 \pi ˇ r ˇ lˇ dr = \)
\( \displaystyle = \frac{\varepsilon_r - 1}{2ˇ\varepsilon_r}
ˇ \varepsilon_0ˇl \left(\frac{1}{R_2} - \frac{1}{R_1}\right)
\left(\frac{25000}{ \ln (5)}\right)^2 \)
Con lo que, finalmente, resultará para la fuerza por
unidad de longitud
\( \displaystyle \vec{F} = \frac{2,5 - 1}{5} ˇ 2 piˇ\varepsilon_0 \left(\frac{1}{5} - 1\right)10^{-3} \left(\frac{25000}{ \ln (5)}\right)^2 Nw/m \)
Y tendrá dirección opuesta a las r crecientes.
PROBLEMAS RESUELTOS - ELECTROMAGNETISMO |
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