PROBLEMAS RESUELTOS DE FÍSICA
ejercicios resueltos de electromagnetismo

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Ejercicios resueltos de electromagnetismo

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Ejercicios de Electromagnetismo

Respuesta al ejercicio 36

Por la simetría del problema, el vector desplazamiento tiene simetría radial:
    \( \displaystyle \begin{array}{l} div \quad \vec{D} = \rho_{libre} \rightarrow \\ \\ \int \limits_V div \; \vec{D} dv = \int \limits_S \vec{D} d\vec{S} = Q \quad ; D 4 \pi r^2 = Q \rightarrow D = \frac{Q}{4 \pi r^2} \end{array}\)
A partir de ahí calculamos el campo eléctrico:
    \( \begin{array}{l} \displaystyle R_1 < r < R_2 \rightarrow \vec{D} = \varepsilon_0 \vec{E}\rightarrow \overrightarrow{E_1} = \frac{\vec{D}}{\varepsilon_0} = \frac{Q}{4 \pi \varepsilon_0 r^2} \hat{u}_r \\ \\ \displaystyle R_2 < r < R_3 \rightarrow \vec{D} = \varepsilon_0\varepsilon_r \vec{E}\rightarrow \overrightarrow{E_2} = \frac{\vec{D}}{\varepsilon_0 \varepsilon_r} = \frac{Q}{4 \pi \varepsilon_0 \varepsilon_r r^2} \hat{u}_r \\ \\ \displaystyle R_3 < r < R_4 \rightarrow \vec{D} = \varepsilon_0 \vec{E}\rightarrow \overrightarrow{E_1} = \frac{\vec{D}}{\varepsilon_0} = \frac{Q}{4 \pi \varepsilon_0 r^2} \hat{u}_r \end{array} \)
Con lo que la diferencia de potencial entre las placas metálicas será:
    \( \displaystyle \phi_2 - \phi_1 = - \left[\int \limits_{R_1}^{R_2} \frac{Q}{4 \pi \varepsilon_0 r^2}dr + \int \limits_{R_2}^{R_3} \frac{Q}{4 \pi \varepsilon_0 \varepsilon_r r^2}dr + \int \limits_{R_3}^{R_4} \frac{Q}{4 \pi \varepsilon_0 r^2}dr \right] \)
E integrando:
    \( \displaystyle \phi_2 - \phi_1 = \frac{Q}{4 \pi \varepsilon_0} \left[\frac{1}{R_4} + \frac{1 - \varepsilon_r}{\varepsilon_r R_3} + \frac{\varepsilon_r - 1}{\varepsilon_r R_2} - \frac{1}{R_1}\right] \)
Para obtener la densidad de carga ligada en los puntos dados, obtenemos el vector polarización:
    \( \displaystyle \varepsilon_0 \vec{E} + \vec{P} = \varepsilon_r \varepsilon_0 \vec{E} \rightarrow \vec{P} = \varepsilon_r \varepsilon_0 \vec{E} - \varepsilon_0 \vec{E} = \varepsilon \vec{E} - \varepsilon_0 \vec{E} \)
Y a partir de ahí:
    \( \displaystyle \sigma = \vec{P} \vec{n} \; ; \; \sigma_1 = - \frac{Q(\varepsilon_r - 1)}{4 \pi \varepsilon_r R_2^2} \; ; \; \sigma_2 = - \frac{Q(\varepsilon_r - 1)}{4 \pi \varepsilon_r R_3^2} \)
Habrá también una densidad volúmica de carga ligada por qué la polarización no es constante y varía con la distancia al origen.
PROBLEMAS RESUELTOS DE ELECTROMAGNETISMO
 


tema escrito por: José Antonio Hervás