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DE FÍSICA
ejercicios resueltos de electromagnetismo

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Ejercicios resueltos de electromagnetismo

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Ejercicios de Electromagnetismo

Una carga puntual, q, colocada en el origen está sumergida en un medio dieléctrico lineal y heterogéneo cuya constante dieléctrica relativa es variable según:
    \( \displaystyle \varepsilon_r = 1 + \left(\frac{\alpha}{r}\right) \)
Donde\( \alpha \) es una constante y r la distancia al origen. Se pide calcular la función potencial tomando el infinito como referencia.

Respuesta al ejercicio 33

En primer lugar, calculamos el campo eléctrico por aplicación del teorema de Gauss:
    \( \displaystyle \int \limits_S \vec{D} d \vec{S} = q \)
Vamos a suponer que, por simetría, D tiene dirección radial; en ese caso:
    \( \displaystyle D 4 \pi r^2 = q \rightarrow D = \frac{q}{4 \pi r^2} \)
Y a partir de ahí:
    \( \displaystyle E = \frac{\vec{D}}{\varepsilon_{r_1} \varepsilon_0} = \frac{q}{ \displaystyle 4 \pi \varepsilon_0 r^2 \left[1 + \frac{\alpha}{r}\right]}\hat{u}_r = \frac{q}{4 \pi \varepsilon_0 [r^2 + r \alpha]}\hat{u}_r \)
Con lo cual el potencial vendrá dado por:
    \( \displaystyle \begin{array}{l} \phi = - \int \vec{E} d\vec{r} = - \frac{q}{4 \pi \varepsilon_0} \int \frac{d\vec{r}}{r^2 + r \alpha} = \\ \\ - \frac{q}{4 \pi \varepsilon_0} \left[ \int \frac{1}{\alpha}\frac{d \vec{r}}{r} - \int \frac{1}{\alpha}\frac{d \vec{r}}{r + \alpha} \right] \end{array} \)
Y realizando las integrales:
    \( \displaystyle \phi = \frac{q}{4 \pi \varepsilon_0 \alpha} \ln \left(\frac{r}{r + \alpha} \right) + K \)
Cuando r tiende a infinito, el potencial tiende a cero y finalmente podemos escribir:
    \( \displaystyle \phi = \frac{q}{4 \pi \varepsilon_0 \alpha} \ln \left(\frac{r}{r + \alpha} \right) \)
PROBLEMAS RESUELTOS DE ELECTROMAGNETISMO
 


tema escrito por: José Antonio Hervás