PROBLEMAS RESUELTOS DE FÍSICA
ejercicios resueltos de electromagnetismo

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Ejercicios resueltos de electromagnetismo

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Ejercicios de Electromagnetismo

Respuesta al ejercicio 33

En primer lugar, calculamos el campo eléctrico por aplicación del teorema de Gauss:
    \( \displaystyle \int \limits_S \vec{D} d \vec{S} = q \)
Vamos a suponer que, por simetría, D tiene dirección radial; en ese caso:
    \( \displaystyle D 4 \pi r^2 = q \rightarrow D = \frac{q}{4 \pi r^2} \)
Y a partir de ahí:
    \( \displaystyle E = \frac{\vec{D}}{\varepsilon_{r_1} \varepsilon_0} = \frac{q}{ \displaystyle 4 \pi \varepsilon_0 r^2 \left[1 + \frac{\alpha}{r}\right]}\hat{u}_r = \frac{q}{4 \pi \varepsilon_0 [r^2 + r \alpha]}\hat{u}_r \)
Con lo cual el potencial vendrá dado por:
    \( \displaystyle \begin{array}{l} \phi = - \int \vec{E} d\vec{r} = - \frac{q}{4 \pi \varepsilon_0} \int \frac{d\vec{r}}{r^2 + r \alpha} = \\ \\ - \frac{q}{4 \pi \varepsilon_0} \left[ \int \frac{1}{\alpha}\frac{d \vec{r}}{r} - \int \frac{1}{\alpha}\frac{d \vec{r}}{r + \alpha} \right] \end{array} \)
Y realizando las integrales:
    \( \displaystyle \phi = \frac{q}{4 \pi \varepsilon_0 \alpha} \ln \left(\frac{r}{r + \alpha} \right) + K \)
Cuando r tiende a infinito, el potencial tiende a cero y finalmente podemos escribir:
    \( \displaystyle \phi = \frac{q}{4 \pi \varepsilon_0 \alpha} \ln \left(\frac{r}{r + \alpha} \right) \)
PROBLEMAS RESUELTOS DE ELECTROMAGNETISMO
 


tema escrito por: José Antonio Hervás