PROBLEMAS RESUELTOS DE FÍSICA
ejercicios resueltos de electromagnetismo

Ver enunciado en

Ejercicios resueltos de electromagnetismo

Estás en : Matemáticas y Poesía > Ejercicios resueltos

 

Ejercicios de Electromagnetismo

Respuesta al ejercicio 32

Para ver si tenemos una distribución volúmica de carga, aplicamos la ecuación de Poissón:
    \( \displaystyle \nabla^2 U = \frac{\rho}{\varepsilon_0} \)
En este caso tenemos:
    \( \displaystyle \nabla^2 U = \frac{1}{r^2} \frac{\partial}{\partial r}\left(r^2 \frac{2p·\cos \theta}{4 \pi \varepsilon_0 r^3}\right) + \frac{1}{r^2 \sin \theta}· \frac{\partial}{\partial \theta}\left(- \sin^2 \theta · \frac{p}{4 \pi \varepsilon_0 r^2} \right) \)
Y realizando la segunda derivación:
    \( \displaystyle \nabla^2 U = \frac{1}{r^2}· \frac{2p·\cos \theta}{4 \pi \varepsilon_0 r^2} - \frac{1}{r^2}· \frac{2p· \cos \theta}{4 \pi \varepsilon_0 r^2} = 0 \)
Por lo que no existe distribución volúmica de carga.
Puede haber, no obstante, una distribución superficial de carga sobre alguna esfera que contenga al dipolo. Calculamos el campo eléctrico:
    \( \displaystyle E = - grad = \frac{2p·\cos \theta}{4 \pi \varepsilon_0 r^3} · \hat{u}_r + \frac{p·\sin \theta}{4 \pi \varepsilon_0 r^3} · \hat{u}_\theta \)
De ahí obtenemos el flujo del vector E a través de una esfera de radio R y, teniendo en cuenta que el producto escalar del vector dS por el vector se anula por ser perpendiculares entre si, resulta:
    \( \displaystyle Q = \int \limits_0^\pi \vec{E} · d \vec{S} = \int \limits_0^\pi \frac{2p· \cos \theta}{4 \pi \varepsilon_0 R^3}·4 \pi R^2 · \sin \theta· d\theta \)
Y operando:
    \( \displaystyle Q = \frac{p}{\varepsilon_0 R} \int \limits_0^\pi 2 \cos \theta· \sin \theta d\theta = \frac{p}{\varepsilon_0 R} \int \limits_0^\pi \sin 2 \theta d\theta = \frac{p}{\varepsilon_0 R} \Big[- \cos 2 \theta \Big]_0^\pi = 0 \)
Y queda demostrado lo que nos proponíamos.
PROBLEMAS RESUELTOS DE ELECTROMAGNETISMO
 


tema escrito por: José Antonio Hervás