PROBLEMAS RESUELTOS DE FÍSICA
ejercicios resueltos de electromagnetismo

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Ejercicios resueltos de electromagnetismo

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Ejercicios de Electromagnetismo

Respuesta al ejercicio 31

Una de las formas en las que se puede expresar la energía potencial eléctrica de un sistema es mediante la ecuación:
    \( \displaystyle U = \int \limits_V \frac{1}{2} \varepsilon_0 E^2 dV \)
Siendo E el campo eléctrico asociada a la distribución dada.
Para poder aplicar la expresión escrita, tenemos que calcular el gradiente de las funciones dadas en el enunciado. En coordenadas esféricas tenemos:
    \( \displaystyle \nabla \phi = \frac{\partial \phi}{\partial r}\hat{u}_r + \frac{1}{r \sin \theta} \frac{\partial \phi}{\partial \varphi}\hat{u} _\varphi + \frac{1}{r}\frac{\partial \phi}{\partial \theta}\hat{u} _\theta \)
Por lo que en este caso:
    \( \begin{array}{l} \displaystyle E_1 = - grad \phi _1 = - A \cos \theta \hat{u}_r + A \sin \theta \hat{u}_\theta \\ \\ \displaystyle E_2 = - grad \phi _2 = \frac{2B}{r^3} \cos \theta \hat{u}_r + \frac{B}{r^3} \sin \theta \hat{u}_\theta \end{array} \)
Y cada uno de estos vectores tiene de módulo:
    \( \begin{array}{l} \displaystyle |E_1| = \sqrt{A^2 \cos^2 \theta + A^2 \sin^2 \theta} = A \\ \\ \displaystyle |E_2| = \sqrt{ \frac{4B^2}{r^6} \cos^2 \theta + \frac{B^2}{r^6} \sin^2 \theta} = \frac{B}{r^3}\sqrt{3\cos ^2 \theta +1} \end{array} \)
Por lo que podemos escribir para la energía potencial:
    \( \displaystyle \int \limits_0^R \frac{\varepsilon_0 A^2}{2} 4\pi r^2 dr + \int \limits_R^\infty \int \limits_0^\pi \frac{\varepsilon_0}{2} \frac{B^2}{r^6} 2 \pi r^2 (3 \cos^2 \theta +1) \sin \theta dr d\theta \)
Para la primera integración de la integral doble, tenemos:
    \( \begin{array}{l} \displaystyle \int \limits_R^\infty \int \limits_0^\pi \frac{1}{2} \varepsilon_0\frac{B^2}{r^6}2 \pi r^2 (3 \cos^2 \theta +1) \sin \theta dr d\theta = \\ \\ \displaystyle \int \limits_R^\infty \pi \varepsilon_0\frac{B^2}{r^4} \Big[- \cos^3 \theta - \cos \theta \Big]_0^\pi dr = \int \limits _R^\infty 4 \pi \varepsilon_0\frac{B^2}{r^4} dr\end{array}\)
Y de ese modo nos queda, finalmente :
    \( \displaystyle U = \frac{2 \varepsilon_0 A^2 \pi R^3}{3} + \frac{4 \varepsilon_0 B^2 \pi }{3R^3} \)
Pero resulta que en r = R los potenciales deben ser iguales; por lo tanto:
    \( \displaystyle ar \cos \theta \Leftrightarrow B\frac{\cos \theta}{r^2} \Bigg|_{r=R} \rightarrow AR^3 = B \)
Y sustituyendo el valor obtenido para B:
    \( \displaystyle U = \frac{2 \varepsilon_0 A^2 \pi R^3}{3} + \frac{4 \varepsilon_0 B^2 \pi }{3R^3} = 2 \pi \varepsilon_0 A^2 R^3 \)
Que es la expresión pedida.
PROBLEMAS RESUELTOS DE ELECTROMAGNETISMO
 


tema escrito por: José Antonio Hervás