Ejercicios de Electromagnetismo

La función potencial asociada a una cierta distribución de carga viene dada en coordenadas esféricas por las expresiones:

\( \displaystyle \phi = A·r· \cos \theta \quad \textrm{ en } r \leq R \quad ; \phi = B.\frac{cos \theta}{r^2} \quad \textrm{ en } r > R \)

Donde A, B y R son constantes.
Se pide calcular la energía potencial electrostática asociada a la distribución, expresándola en función de las constantes, dieléctrica \( ( \varepsilon_0 ) \), A y R, exclusivamente.

Respuesta al ejercicio 31

Una de las formas en las que se puede expresar la energía potencial eléctrica de un sistema es mediante la ecuación:

\( \displaystyle U = \int \limits_V \frac{1}{2}· \varepsilon_0 E^2 dV \)

Siendo E el campo eléctrico asociada a la distribución dada.
Para poder aplicar la expresión escrita, tenemos que calcular el gradiente de las funciones dadas en el enunciado. En coordenadas esféricas tenemos:

\( \displaystyle \nabla \phi = \frac{\partial \phi}{\partial r}·\hat{u}_r + \frac{1}{r· \sin \theta}· \frac{\partial \phi}{\partial \varphi}·\hat{u} _\varphi + \frac{1}{r}·\frac{\partial \phi}{\partial \theta}·\hat{u} _\theta \)

Por lo que en este caso:

\( \begin{array}{l} \displaystyle E_1 = - grad \phi _1 = - A · \cos \theta · \hat{u}_r + A· \sin \theta · \hat{u}_\theta \\ \\ \displaystyle E_2 = - grad \phi _2 = \frac{2B}{r^3} · \cos \theta \hat{u}_r + \frac{B}{r^3}· \sin \theta · \hat{u}_\theta \end{array} \)

Y cada uno de estos vectores tiene de módulo:

\( \begin{array}{l} \displaystyle |E_1| = \sqrt{A^2 · \cos^2 \theta + A^2· \sin^2 \theta} = A \\ \\ \displaystyle |E_2| = \sqrt{ \frac{4B^2}{r^6} · \cos^2 \theta + \frac{B^2}{r^6}· \sin^2 \theta} = \frac{B}{r^3}\sqrt{3·\cos ^2 \theta +1} \end{array} \)

Por lo que podemos escribir para la energía potencial:

\( \displaystyle \int \limits_0^R \frac{\varepsilon_0 A^2}{2} 4\pi r^2 dr + \int \limits_R^\infty \int \limits_0^\pi \frac{\varepsilon_0}{2} \frac{B^2}{r^6} 2 \pi r^2 (3 \cos^2 \theta +1) \sin \theta · dr d\theta \)

Para la primera integración de la integral doble, tenemos:

\( \begin{array}{l} \displaystyle \int \limits_R^\infty \int \limits_0^\pi \frac{1}{2}· \varepsilon_0\frac{B^2}{r^6}·2 \pi r^2 (3· \cos^2 \theta +1) \sin \theta dr d\theta = \\ \\ \displaystyle \int \limits_R^\infty \pi \varepsilon_0\frac{B^2}{r^4} \Big[- \cos^3 \theta - \cos \theta \Big]_0^\pi dr = \int \limits _R^\infty 4· \pi \varepsilon_0\frac{B^2}{r^4} dr\end{array}\)

Y de ese modo nos queda, finalmente :

\( \displaystyle U = \frac{2 \varepsilon_0 A^2 \pi R^3}{3} + \frac{4 \varepsilon_0 B^2 \pi }{3R^3} \)

Pero resulta que en r = R los potenciales deben ser iguales; por lo tanto:

\( \displaystyle a·r· \cos \theta \Leftrightarrow B·\frac{\cos \theta}{r^2} \Bigg|_{r=R} \rightarrow AR^3 = B \)

Y sustituyendo el valor obtenido para B:

\( \displaystyle U = \frac{2 \varepsilon_0 A^2 \pi R^3}{3} + \frac{4 \varepsilon_0 B^2 \pi }{3R^3} = 2 \pi \varepsilon_0 A^2 R^3 \)

Que es la expresión pedida.