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DE FÍSICA
ejercicios resueltos de electromagnetismo

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Ejercicios resueltos de electromagnetismo

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Ejercicios de Electromagnetismo

Calcular la energía potencial asociada a una distribución cúbica dada en coordenadas esféricas por la expresión:
    \( \displaystyle \rho = \rho_0 \frac{r^2}{R^2}\quad \textrm{ en } r \leq R \quad ; \rho = 0 \quad \textrm{ en } r > R \)
Respuesta al ejercicio 28

En primer lugar calculamos el campo eléctrico creado en el interior de la esfera. Aplicando el teorema de Gauss, tenemos:
    \( \displaystyle \begin{array}{l} E4 \pi r^2 = \int \limits_0^r \frac{\rho}{\varepsilon_0}4 \pi r^2 dr = \frac{4 \pi \rho_0}{\varepsilon_0 R^2} \int \limits_0^r r^4 dr = \\ \\ \frac{4 \pi \rho_0}{\varepsilon_0 R^2} \frac{r^5}{5} \rightarrow E = \frac{\rho_0 r^3}{5 \varepsilon_0 R^2} \end{array} \)
Y, análogamente, en el exterior:
    \( \displaystyle \begin{array}{l} E4 \pi r^2 = \int \limits_0^R \frac{\rho}{\varepsilon_0}4 \pi r^2 dr = \frac{4 \pi \rho_0}{\varepsilon_0 R^2} \int \limits_0^R r^4 dr = \\ \\ \frac{4 \pi \rho_0 R^3}{5 \varepsilon_0} \rightarrow E = \frac{\rho_0 R^3}{5 \varepsilon_0 r^2} \end{array} \)
Sabiendo esto, la energía potencial valdrá:
    \( \displaystyle U = \frac{1}{2}\varepsilon_0 \int \limits_0^R\left(\frac{\rho_0 r^3}{5 \varepsilon_0 R^2}\right)^2 4 \pi r^2 dr + \frac{1}{2}\varepsilon_0 \int \limits_R^\infty \left(\frac{\rho_0 R^3}{5 \varepsilon_0 r^2}\right)^2 4 \pi r^2 dr \)
E integrando:
    \( \displaystyle U = \frac{2 \pi \rho_0^2R^5}{25 \times 9 \varepsilon_0} + \frac{2 \pi \rho_0^2R^5}{25 \times \varepsilon_0} = \frac{4 \pi \rho_0^2R^5}{45 \times \varepsilon_0}\)
PROBLEMAS RESUELTOS DE ELECTROMAGNETISMO
 


tema escrito por: José Antonio Hervás