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DE FÍSICA
ejercicios resueltos de electromagnetismo

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Ejercicios resueltos de electromagnetismo

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Ejercicios de Electromagnetismo

En una circunferencia de radio R, centro en el origen y situada en el plano XY, reside una distribución lineal de carga cuya densidad lineal es, en coordenadas cilíndricas:
    \( \lambda = \lambda_0 \sin ^2 \varphi \; ; \; \lambda_0 = cte \)
Se pide calcular el campo eléctrico en el punto (0,0,z), el potencial de dicho punto respecto del infinito y, finalmente, el punto del eje Z que esté a mayor potencial, así como dicho potencial máximo

Respuesta al ejercicio 27

campo eléctrico en un punto cualquiera


Considerando la figura adjunta, tenemos que el campo eléctrico en un punto cualquiera del eje Z será:
    \( \displaystyle E_z = \int \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0}\frac{\lambda dl}{d^2} \cos \theta \)
Pero teniendo en cuenta las equivalencias:
    \( \displaystyle dl = Rd\varphi \; ; \; \cos \theta = \frac{z}{d} = \frac{z}{\sqrt{R^2 + z^2}} \)
Podemos poner:
    \( \displaystyle E_z = \frac{\lambda_0 Rz}{4 \pi \varepsilon_0 (R^2 + z^2)^{3/2}} \int \limits_0^{2 \pi} \sin^2 \varphi d\varphi = \frac{\lambda_0 Rz}{4 \varepsilon_0 (R^2 + z^2)^{3/2}} \)
Para obtener el potencial respecto del infinito podemos escribir:
    \( \displaystyle \begin{array}{l} \phi = - \int Edr = - \int \limits_\infty^z \frac{\lambda_0 Rz}{4 \varepsilon_0 (R^2 + z^2)^{3/2}} dz = \\ \\ - \frac{1}{2}\frac{\lambda_0 R}{4 \varepsilon_0} \int \limits_\infty^z t^{-3/2} dt = \frac{\lambda_0 R}{4 \varepsilon_0 (R^2 + z^2)^{1/2}} \end{array} \)
Donde hemos hecho el cambio de variable\( (R^2 + z^2) = t \) t ; 2z.dz = dt.
Por último, para obtener el punto z que está a mayor potencial, hacemos:
    \( \displaystyle \frac{d \phi}{dz} = 0 = \frac{\lambda_0 R}{4 \varepsilon_0}\left[- \frac{z}{(R^2 + z^2)^{1/2}}\right] \quad \rightarrow \quad z = 0 \)
Y llevando este valor de z a la expresión del potencial:
    \( \displaystyle \phi_{max} = \frac{\lambda_0 R}{4 \varepsilon_0(R^2)^{1/2}} = \frac{\lambda_0}{4 \varepsilon_0} \)
PROBLEMAS RESUELTOS DE ELECTROMAGNETISMO
 


tema escrito por: José Antonio Hervás