PROBLEMAS RESUELTOS DE FÍSICA
ejercicios resueltos de electromagnetismo

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Ejercicios resueltos de electromagnetismo

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Ejercicios de Electromagnetismo

Respuesta al ejercicio 27

campo eléctrico en un punto cualquiera


Considerando la figura adjunta, tenemos que el campo eléctrico en un punto cualquiera del eje Z será:
    \( \displaystyle E_z = \int \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0}\frac{\lambda dl}{d^2} \cos \theta \)
Pero teniendo en cuenta las equivalencias:
    \( \displaystyle dl = Rd\varphi \; ; \; \cos \theta = \frac{z}{d} = \frac{z}{\sqrt{R^2 + z^2}} \)
Podemos poner:
    \( \displaystyle E_z = \frac{\lambda_0 Rz}{4 \pi \varepsilon_0 (R^2 + z^2)^{3/2}} \int \limits_0^{2 \pi} \sin^2 \varphi d\varphi = \frac{\lambda_0 Rz}{4 \varepsilon_0 (R^2 + z^2)^{3/2}} \)
Para obtener el potencial respecto del infinito podemos escribir:
    \( \displaystyle \begin{array}{l} \phi = - \int Edr = - \int \limits_\infty^z \frac{\lambda_0 Rz}{4 \varepsilon_0 (R^2 + z^2)^{3/2}} dz = \\ \\ - \frac{1}{2}\frac{\lambda_0 R}{4 \varepsilon_0} \int \limits_\infty^z t^{-3/2} dt = \frac{\lambda_0 R}{4 \varepsilon_0 (R^2 + z^2)^{1/2}} \end{array} \)
Donde hemos hecho el cambio de variable\( (R^2 + z^2) = t \) t ; 2z.dz = dt.
Por último, para obtener el punto z que está a mayor potencial, hacemos:
    \( \displaystyle \frac{d \phi}{dz} = 0 = \frac{\lambda_0 R}{4 \varepsilon_0}\left[- \frac{z}{(R^2 + z^2)^{1/2}}\right] \quad \rightarrow \quad z = 0 \)
Y llevando este valor de z a la expresión del potencial:
    \( \displaystyle \phi_{max} = \frac{\lambda_0 R}{4 \varepsilon_0(R^2)^{1/2}} = \frac{\lambda_0}{4 \varepsilon_0} \)
PROBLEMAS RESUELTOS DE ELECTROMAGNETISMO
 


tema escrito por: José Antonio Hervás