PROBLEMAS RESUELTOS DE FÍSICA
ejercicios resueltos de electromagnetismo

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Ejercicios resueltos de electromagnetismo

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Ejercicios de Electromagnetismo

Respuesta al ejercicio 23

Sobre la carga en movimiento actúan el campo eléctrico y el campo magnético; por consiguiente, podemos poner:
    \( \displaystyle \vec{F} = q\vec{E} + q(\vec{v} \wedge \vec{B}) = m\vec{a} = \frac{d^2 \vec{r}}{dt^2} \)
La fuerza que ejerce el campo eléctrico sólo tiene componente sobre el eje Y. La fuerza que ejerce el campo magnético tendrá de componentes:
    \( \displaystyle \vec{F}_m = q(\vec{v} \wedge \vec{B}) = q \left| \begin{array}{ccc} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ v_x & v_y & 0 \\ 0 & 0 & B \end{array}\right| = qv_y B\hat{i} - qv_x B\hat{j} \)
De ese modo, las ecuaciones del movimiento de la partícula serán:
    \( \displaystyle m\frac{d^2 x}{dt^2} = qv_y B \quad (1) \quad m\frac{d^2 y}{dt^2} = qE - qv_x B \quad (2) \)
Para calcular la velocidad vx a una distancia y, hacemos:
    \( \displaystyle \frac{d^2 x}{dt^2} = \frac{q}{m}v_y B \Rightarrow \frac{d^2 x}{dt^2}dt = dv_x = \frac{q}{m}v_y Bdt = \frac{q}{m}Bdy \)
Con lo que, integrando, resulta:
    \( \displaystyle \int \limits_0^{v_x} dv_x = \frac{q}{m}B \int \limits_0^y dy \Rightarrow v_x = \frac{q}{m}By \)
El apartado c) lo podemos calcular integrando la ecuación (2) y combinando el resultado con vx, pero también podemos calcularlo aplicando el teorema de las fuerzas vivas:
    \( \displaystyle \triangle E_c = W \Rightarrow \frac{1}{2}mv^2 = qEy \Rightarrow v^2 = \frac{2q}{m}Ey \)
El trabajo producido por el campo magnético es nulo, por ser perpendicular a la velocidad, de ahí que solo consideremos el campo eléctrico sobre la dirección Y.
Conociendo el módulo de v y una de sus componentes, podemos calcular la otra:
    \( \displaystyle v^2 = v_x^2 + v_y^2 \quad ; \quad v_y^2 = v^2 - v_x^2 = \frac{2q}{m}Ey - \left(\frac{q}{m}\right)^2 B^2y^2 \quad (3) \)
Para el último apartado consideramos una ecuación del movimiento uniformemente acelerado:
    \( v^2 = 2a \)
Aplicando esta ecuación junto con la (3) al caso que estamos estudiando y para el eje Y, resulta:
    \( \begin{array}{l} \displaystyle v_y^2 = 2ha_y \quad ; \quad v_y^2 = 2h(qE - v_x B) \\ \\ \displaystyle 2\frac{q}{m}Eh - \left(\frac{q}{m}\right)^2 B^2 h^2 = 2h \left(qE - q\frac{q}{m}B^2h\right) \end{array} \)
De donde podemos hacer:
    \( \displaystyle \begin{array}{l} 2E - \left(\frac{q}{m}\right)B^2 h = 2(mE - qb^2 h) \Rightarrow \\ \\ 2E - 2Em = \left(\frac{q}{m}\right)B^2 h - qB^2 h \end{array}\)
Y, por último:
    \( \displaystyle 2E(1-m) = \left(\frac{q}{m}\right)B^2 h(1-m) \Rightarrow E = \frac{1}{2}\left(\frac{q}{m}\right)B^2 h \)
PROBLEMAS RESUELTOS DE ELECTROMAGNETISMO
 


tema escrito por: José Antonio Hervás