PROBLEMAS RESUELTOS DE FÍSICA
ejercicios resueltos de electromagnetismo

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Ejercicios resueltos de electromagnetismo

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Ejercicios de Electromagnetismo

Respuesta al ejercicio 20

Para el cálculo de la energía potencial vamos a emplear la expresión:
    \( \displaystyle U = \int \limits_V \frac{1}{2} \varepsilon_0 E^2 d V \)
El campo eléctrico en el interior de una esfera de radio r < R será, de acuerdo al teorema de Gauss:
    \( \displaystyle 4 \pi r^2 E = \frac{4 \pi}{\varepsilon_0}\int \limits_0^r a(r-b)r^2 dr \Rightarrow E = \frac{a}{12\varepsilon_0}(3r^2 - 4br) \)
Y en el exterior:
    \( \displaystyle 4 \pi r^2 E = \frac{4 \pi}{\varepsilon_0}\int \limits_0^R a(r-b)r^2 dr \Rightarrow E = \frac{a}{12\varepsilon_0} \frac{(3R^2 - 4bR^3) }{r^2} \)
Por lo que para la energía potencial tendremos:
    \( \displaystyle \begin{array}{l}
    U = 2 \pi · \varepsilon_0 \left(\frac{a}{12·\varepsilon_0}\right)^2 \left[\int \limits_0^R (3r^2 - 4b·r)^2 r^2·dr + \right]+ \\
    \\
    + 2 \pi · \varepsilon_0 \left(\frac{a}{12·\varepsilon_0}\right)^2 \left[ \int \limits_0^R \frac{(3R^4 - 4b·R^3)^2}{r^4}· r^2·dr \right]
    \end{array}\)
Realizando las integrales y simplificando:
    \( \displaystyle U = 2 \pi \varepsilon_0 \left(\frac{a}{12\varepsilon_0}\right)^2 \left[ \frac{72}{7} R^7 + \frac{96b^2}{5} R^5 - \frac{168b}{6} R^6 \right] \)
Para que esta energía sea mínima en función de b, la derivamos respecto a dicho parámetro:
    \( \displaystyle\begin{array}{l} \frac{d U}{db} = 2 \pi \varepsilon_0 \left(\frac{a}{12\varepsilon_0}\right)^2 \left[ \frac{192b}{5}R^5 - \frac{168}{6}R^6 \right] = 0 \Rightarrow \\ \\ \frac{192}{5}b - \frac{168}{6}R = 0 \end{array} \)
Con lo que, finalmente resulta:
    \( \displaystyle b = \frac{5 \times 168}{192 \times 6}R = \frac{35}{48}R \)
PROBLEMAS RESUELTOS DE ELECTROMAGNETISMO
 


tema escrito por: José Antonio Hervás