Ejercicios de Electromagnetismo - Respuesta 19

La energía potencial puede obtenerse por cualquiera de los métodos:



Consideraremos el primero de ellos. Puesto que la densidad depende sólo de r, tenemos:



Y para hallar el potencial en el interior de la esfera calculamos antes el campo E:



A partir de ahí y sabiendo que el campo es el gradiente cambiado de signo del potencial, tendremos:



Análogamente, el campo en el exterior de la esfera es:



Y el potencial:



Como en R ambos potenciales deben coincidir tendremos:



Con lo que nos queda:



Sabiendo lo cual podemos escribir:



Y operando con las integrales:



O después de simplificar: