PROBLEMAS RESUELTOS DE FÍSICA
ejercicios resueltos de electromagnetismo

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Ejercicios resueltos de electromagnetismo

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Ejercicios de Electromagnetismo

Respuesta al ejercicio 16

Puesto que tenemos una esfera conductora, el potencial en su superficie será constante y podemos aplicar el método de imágenes.

esquema con esfera conductora


Considerando la figura inferior, tendremos
    \( \begin{array}{l} \displaystyle r_1 = \sqrt{(L+x)^2 + y^2} = \sqrt{r^2 + L^2 + 2rL \cos \theta} \\ \\ \displaystyle r_2 = \sqrt{(L-x)^2 + y^2} = \sqrt{r^2 + L^2 - 2rL \cos \theta} \end{array} \)
El potencial en un punto cualquiera podrá expresarse en la forma:
    \( \displaystyle \phi(r, \theta) = \frac{q}{4 \pi \varepsilon_0}\left(\frac{1}{r_1} - \frac{1}{r_2}\right) \)
Y desarrollando en serie las expresiones que nos dan r1 y r2:
    \( \begin{array}{l} \displaystyle r_1 = \sqrt{r^2 + L^2 + 2rL \cos \theta} \approx \\ \\ \approx \frac{1}{r}\left[1 + \frac{L}{r} \cos \theta + \left(\frac{L}{r}\right)^2(3 \cos \theta - 1) + \right] \\ \\\\ \\ \displaystyle r_2 = \sqrt{r^2 + L^2 - 2rL \cos \theta} \approx \\ \\ \approx \frac{1}{r}\left[1 + \frac{L}{r} \cos \theta + \left(\frac{L}{r}\right)^2(3 \cos \theta - 1) + \right] \end{array} \)
Nos queda finalmente:
    \( \displaystyle \phi(r, \theta) = \frac{q}{4 \pi \varepsilon_0} \times \frac{2L \cos \theta}{r} \)
A partir de ahí, teniendo en cuenta la expresión del gradiente en coordenadas esféricas:
    \( \displaystyle \begin{array}{l}
    E = - grad \; \phi = - \frac{\partial \phi}{\partial r}·\vec{u}_r - \frac{1}{r}·\frac{\partial \phi}{\partial \theta}·\vec{u}_\theta = \\
    \\
    = \frac{q·L· \cos \theta}{\pi \varepsilon_0 r^3}·\vec{u}_r + \frac{q·L· \sin \theta}{2 \pi \varepsilon_0 r^3}·\vec{u}_\theta
    \end{array}\)
PROBLEMAS RESUELTOS DE ELECTROMAGNETISMO
 


tema escrito por: José Antonio Hervás