PROBLEMAS RESUELTOS
DE FÍSICA
ejercicios resueltos de electromagnetismo

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Ejercicios resueltos de electromagnetismo

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Ejercicios de Electromagnetismo

Demostrar que el problema de una esfera conductora en un campo eléctrico uniforme puede resolverse por el método de imágenes (sugerencia: un campo eléctrico uniforme en la vecindad del origen puede sustituirse aproximadamente por el campo eléctrico de dos cargas puntuales colocadas en el eje Z, tal como indica la figura adjunta. El campo debido a estas cargas se hace uniforme con L tendiendo a infinito).

Respuesta al ejercicio 16

Puesto que tenemos una esfera conductora, el potencial en su superficie será constante y podemos aplicar el método de imágenes.

esquema con esfera conductora


Considerando la figura inferior, tendremos
    \( \begin{array}{l} \displaystyle r_1 = \sqrt{(L+x)^2 + y^2} = \sqrt{r^2 + L^2 + 2rL \cos \theta} \\ \\ \displaystyle r_2 = \sqrt{(L-x)^2 + y^2} = \sqrt{r^2 + L^2 - 2rL \cos \theta} \end{array} \)
El potencial en un punto cualquiera podrá expresarse en la forma:
    \( \displaystyle \phi(r, \theta) = \frac{q}{4 \pi \varepsilon_0}\left(\frac{1}{r_1} - \frac{1}{r_2}\right) \)
Y desarrollando en serie las expresiones que nos dan r1 y r2:
    \( \begin{array}{l} \displaystyle r_1 = \sqrt{r^2 + L^2 + 2rL \cos \theta} \approx \\ \\ \approx \frac{1}{r}\left[1 + \frac{L}{r} \cos \theta + \left(\frac{L}{r}\right)^2(3 \cos \theta - 1) + \right] \\ \\\\ \\ \displaystyle r_2 = \sqrt{r^2 + L^2 - 2rL \cos \theta} \approx \\ \\ \approx \frac{1}{r}\left[1 + \frac{L}{r} \cos \theta + \left(\frac{L}{r}\right)^2(3 \cos \theta - 1) + \right] \end{array} \)
Nos queda finalmente:
    \( \displaystyle \phi(r, \theta) = \frac{q}{4 \pi \varepsilon_0} \times \frac{2L \cos \theta}{r} \)
A partir de ahí, teniendo en cuenta la expresión del gradiente en coordenadas esféricas:
    \( \displaystyle \begin{array}{l}
    E = - grad \; \phi = - \frac{\partial \phi}{\partial r}·\vec{u}_r - \frac{1}{r}·\frac{\partial \phi}{\partial \theta}·\vec{u}_\theta = \\
    \\
    = \frac{q·L· \cos \theta}{\pi \varepsilon_0 r^3}·\vec{u}_r + \frac{q·L· \sin \theta}{2 \pi \varepsilon_0 r^3}·\vec{u}_\theta
    \end{array}\)
PROBLEMAS RESUELTOS DE ELECTROMAGNETISMO
 


tema escrito por: José Antonio Hervás