PROBLEMAS RESUELTOS DE FÍSICA
ejercicios resueltos de electromagnetismo

Ver enunciado en

Ejercicios resueltos de electromagnetismo

Estás en : Matemáticas y Poesía > Ejercicios resueltos

 

Ejercicios de Electromagnetismo

Respuesta al ejercicio 13

Vamos a considerar que las placas están situadas a x = -d/2 y x = +d/2 y que se encuentran respectivamente a potencial 0 y V0.

Para calcular el campo D, aplicamos el teorema de Gauss a la superficie cilíndrica de la figura.

aplicación teorema de Gauss


No hay flujo de D a través de la base del cilindro que está introducida en el conductor, ni tampoco a través de la superficie lateral. Por consiguiente, tendremos D = \( \rho_{si} \), siendo \( \rho_{si} \) la carga de superficie en la placa de la izquierda. Después de lo anterior, hacemos:
    \( \displaystyle \begin{array}{l}
    E = \frac{D}{\varepsilon} = \frac{\rho_{s_d}}{\varepsilon_0} \left(1 + \frac{x}{d}\right) \Rightarrow \\
    \\
    \Rightarrow \phi = - \int E·dx = \frac{\rho_{s_d}}{\varepsilon_0} \left(x + \frac{x^2}{2d}\right) + K
    \end{array}\)
Pero teniendo en cuenta las condiciones de contorno \( \phi (-d/2) = 0 \textrm{ y } \phi (d/2) = V_0 \), obtenemos :
    \( \displaystyle \frac{\rho_{s_d}}{\varepsilon_0} \left(- d + \frac{d^2}{2d}\right) + K = 0 \Rightarrow K = - \frac{3}{8} \frac{\rho_{s_d}}{\varepsilon_0} d \)

    \( \displaystyle \frac{\rho_{s_d}}{\varepsilon_0} \left(+ d + \frac{d^2}{2d}\right) + K = V_0 \Rightarrow \rho_{s_d} = - \frac{ \varepsilon_0}{d} V_0 \)
De donde resulta:
    \( \displaystyle \begin{array}{l}
    \phi = \frac{\varepsilon_0}{d}·\frac{1}{\varepsilon_0} \left(x + \frac{x^2}{2d}\right)V_0 + \frac{3}{8}· \frac{d}{\varepsilon_0}·\frac{\varepsilon_0}{d}·V_0 = \\
    \\
    = \left(\frac{3}{8} + \frac{x}{d} + \frac{x^2}{2d^2}\right)V_0
    \end{array}\)
Y análogamente:
    \( \displaystyle \begin{array}{l}
    D = \rho_{s_d} \Rightarrow \vec{D} = - \frac{\varepsilon_0}{d}·V_0 \vec{u}_x \Rightarrow \\
    \\
    \Rightarrow E = \frac{\vec{D}}{\varepsilon} = - \frac{V_0}{d}\left[\frac{1}{1+(x/d)}\right]\vec{u}_x = - \frac{V_0}{d+x}·\vec{u}_x
    \end{array}\)
El vector polarización vendrá dado por la expresión:
    \( \displaystyle \begin{array}{l}
    \vec{P} = \vec{D} - \varepsilon_0 · \vec{E}= - \frac{\varepsilon_0}{d}·V_0 · \vec{u}_x + \frac{\varepsilon_0 · V_0}{d+x}·\vec{u}_x = \\
    \\
    = - \frac{\varepsilon_0 · x}{d}· \frac{V_0}{d+x}·\vec{u}_x
    \end{array}\)
PROBLEMAS RESUELTOS DE ELECTROMAGNETISMO
 


tema escrito por: José Antonio Hervás