EJERCICIOS RESUELTOS
FÍSICA
ELECTROMAGNETISMO

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Ejercicios resueltos de electromagnetismo

 

Ejercicios de Electromagnetismo

Respuesta al ejercicio 12

Supongamos que debido a la diferencia de potencial dada, el conductor interior almacena una carga de Q culombios.

condensador esférico con dieléctrico


Para calcular el campo en el interior del dieléctrico 1, aplicamos el teorema de Gauss:
    \( \displaystyle 2 \pi r h D_1 = Q \Rightarrow D_1 = \frac{Q}{2 \pi r h} \Rightarrow E_1 = \frac{D_1}{\varepsilon_1} = \frac{Q}{2 \pi r h \varepsilon_1 } = \frac{Q}{8 \pi r h \varepsilon_0} \)
Análogamente, el campo en el interior del dieléctrico 2 valdrá:
    \( \displaystyle E_2 = \frac{Q}{2 \pi r h \varepsilon_2 } \)
Y para que se cumpla la condición del enunciado debemos poner:
    \( \displaystyle \left. E_1 \right]_{r=a} = \frac{Q}{8 \pi r h \varepsilon_0} = 4 \left. E_2 \right]_{r=b} = \frac{4Q}{2 \pi r h \varepsilon_2} \Rightarrow \varepsilon_2 = 8\varepsilon_0 \)
El condensador del enunciado es semejante a un sistema de dos condensadores cilíndricos conectados en serie de tal forma que uno de ellos tiene radio a y R y el otro R y B = 2 a.


Para calcular su capacidad vamos a determinar la capacidad de un condensador cilíndrico de radios re y ri entre cuyas placas se aplica una diferencia de potencial de V0 voltios. Por el resultado anterior es fácil ver que se tiene:

    \( \displaystyle V_0 = \frac{Q}{2 \pi h \varepsilon } \ln \left(\frac{r_e}{r_i}\right) \Rightarrow C = \frac{Q}{V} = \frac{2 \pi h \varepsilon}{\ln (r_e/r_i)} \)

    \( \displaystyle C_1 = \frac{2 \pi h \varepsilon_1}{\ln (R/a)} \; ; \; C_2 = \frac{2 \pi h \varepsilon_2}{\ln (b/R)} \)
Y la capacidad total por unidad de longitud se obtendrá a partir de la expresión:
    \( \displaystyle \frac{1}{C_T} = \frac{1}{C_1} + \frac{1}{C_2} \; ; \; \left. C_T \right]_{h=1} = \frac{2 \pi \varepsilon_1 \varepsilon_2}{\varepsilon_2 \ln (R/a) + \varepsilon_1 \ln (b/R)} \)
Y teniendo en cuenta los valores numéricos:
    \( \displaystyle \left. C_T \right]_{h=1} = \frac{2 \pi 4 \varepsilon_0 8 \varepsilon_0}{8 \varepsilon_0 \ln (R/a) + 4 \varepsilon_0 \ln (b/R)} = \frac{16 \pi \varepsilon_0}{\ln (2R/a)} \)
PROBLEMAS RESUELTOS - ELECTROMAGNETISMO
 


tema escrito por: José Antonio Hervás