PROBLEMAS RESUELTOS
DE FÍSICA
ejercicios resueltos de electromagnetismo

Ver enunciado del ejercicio en:

Ejercicios resueltos de electromagnetismo

Estás en :
Matemáticas y Poesía >

Problemas resueltos

 

Ejercicios de Electromagnetismo

Entre dos cilindros conductores coaxiales de radios a y b (b = 2 a), se introducen dos capas de dieléctrico, que llenan el espacio entre conductores. El límite de separación entre los dos dieléctricos es la superficie cilíndrica de radio R y el mismo eje que los conductores. Las permitividades respectivas de los dieléctricos son \( \varepsilon_1 = 4 \varepsilon_0 \; y \; \varepsilon_2 \) . Entre los conductores se aplica la d.d.p. Vo

a) Calcular el valor de \( \varepsilon_2 \) para que el campo sobre la superficie del cilindro de radio a sea cuatro veces superior al campo en el dieléctrico en contacto con el cilindro de radio b.
b) Calcular la capacidad por unidad de longitud del sistema, con los valores de \( \varepsilon_1 \; y \; \varepsilon_2 \) dado y calculado en el apartado anterior.

Respuesta al ejercicio 12

Supongamos que debido a la diferencia de potencial dada, el conductor interior almacena una carga de Q culombios.

condensador esférico con dieléctrico


Para calcular el campo en el interior del dieléctrico 1, aplicamos el teorema de Gauss:
    \( \displaystyle \begin{array}{l}
    2 \pi r ·h· D_1 = Q \Rightarrow D_1 = \frac{Q}{2 \pi r ·h} \Rightarrow \\
    \\
    \Rightarrow E_1 = \frac{D_1}{\varepsilon_1} = \frac{Q}{2 \pi r ·h · \varepsilon_1 } = \frac{Q}{8 \pi r ·h · \varepsilon_0}
    \end{array}\)
Análogamente, el campo en el interior del dieléctrico 2 valdrá:
    \( \displaystyle E_2 = \frac{Q}{2 \pi r h \varepsilon_2 } \)
Y para que se cumpla la condición del enunciado debemos poner:
    \( \displaystyle \left. E_1 \right]_{r=a} = \frac{Q}{8 \pi r h \varepsilon_0} = 4 \left. E_2 \right]_{r=b} = \frac{4Q}{2 \pi r h \varepsilon_2} \Rightarrow \varepsilon_2 = 8 \varepsilon_0 \)
El condensador del enunciado es semejante a un sistema de dos condensadores cilíndricos conectados en serie de tal forma que uno de ellos tiene radio a y R y el otro R y B = 2 a.


Para calcular su capacidad vamos a determinar la capacidad de un condensador cilíndrico de radios re y ri entre cuyas placas se aplica una diferencia de potencial de V0 voltios. Por el resultado anterior es fácil ver que se tiene:

    \( \displaystyle V_0 = \frac{Q}{2 \pi h \varepsilon } \ln \left(\frac{r_e}{r_i}\right) \Rightarrow C = \frac{Q}{V} = \frac{2 \pi h \varepsilon}{\ln (r_e/r_i)} \)

    \( \displaystyle C_1 = \frac{2 \pi h \varepsilon_1}{\ln (R/a)} \; ; \; C_2 = \frac{2 \pi h \varepsilon_2}{\ln (b/R)} \)
Y la capacidad total por unidad de longitud se obtendrá a partir de la expresión:
    \( \displaystyle \frac{1}{C_T} = \frac{1}{C_1} + \frac{1}{C_2} \; ; \; \left. C_T \right]_{h=1} = \frac{2 \pi \varepsilon_1 \varepsilon_2}{\varepsilon_2 \ln (R/a) + \varepsilon_1 \ln (b/R)} \)
Y teniendo en cuenta los valores numéricos:
    \( \displaystyle \left. C_T \right]_{h=1} = \frac{2 \pi 4 \varepsilon_0 8 \varepsilon_0}{8 \varepsilon_0 \ln (R/a) + 4 \varepsilon_0 \ln (b/R)} = \frac{16 \pi \varepsilon_0}{\ln (2R/a)} \)
PROBLEMAS RESUELTOS DE ELECTROMAGNETISMO
 


tema escrito por: José Antonio Hervás