Ejercicios de Electromagnetismo - Respuesta 9

Si aplicamos el teorema de Gauss a una esfera de radio r tal que r < a obtenemos:



Y tenemos la inducción eléctrica y el campo para puntos interiores a la esfera.

Para la región en la que r > a (espacio exterior a la esfera) la permitividad es ε₀. Cualquier esfera de Gauss que tomemos en ella contendrá una carga que no dependerá de r:



Para obtener el potencial en cada caso hacemos:
Para r > a integramos la última expresión:



Suponiendo la condición Φ₂ = 0 para r = infinito, obtenemos C₂ = 0 y nos queda:



Para el potencial en los puntos r < a, tenemos:



Puesto que no puede haber discontinuidades de potencial, se tendrá que Φ₁ y Φ₂ han de ser iguales en r = a. esta condición nos sirve para obtener C1:



Y a partir de ahí tenemos: