PROBLEMAS RESUELTOS DE FÍSICA
ejercicios resueltos de electromagnetismo

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Ejercicios resueltos de electromagnetismo

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Ejercicios de Electromagnetismo

Respuesta al ejercicio 9

Si aplicamos el teorema de Gauss a una esfera de radio r tal que r < a obtenemos:
    \( \displaystyle \begin{array}{l}
    4 \pi r^2 ·D_1 = \frac{4}{3} \pi r^3 · \rho \Rightarrow \vec{D}_1 = \frac{ \rho}{3}·r·\vec{u}_r \Rightarrow \\
     \\
    \Rightarrow \vec{E}_1 = \frac{1}{\varepsilon}·\vec{D}_1 = \frac{ \rho}{3·\varepsilon}·r·\vec{u}_r \end{array}\)
Y tenemos la inducción eléctrica y el campo para puntos interiores a la esfera.


Para la región en la que r > a (espacio exterior a la esfera) la permitividad es \( \varepsilon_0 \). Cualquier esfera de Gauss que tomemos en ella contendrá una carga que no dependerá de r:
    \( \displaystyle \vec{E}_2 = \frac{1}{\varepsilon_0}·\vec{D}_2 = \frac{ \rho · a^3}{3·\varepsilon_0 r^2}·\vec{u}_r\)
Para obtener el potencial en cada caso hacemos:
Para r > a integramos la última expresión:
    \( \displaystyle \phi_2 = - \int E_2·dr = \frac{ \rho · a^3}{3·\varepsilon_0 r} + C_2 \)
Suponiendo la condición \( \phi_2 = 0 \textrm{ para } r = \infty \) , obtenemos C2 = 0 y nos queda:
    \( \displaystyle \phi_2 = - \int E_2·dr = \frac{ \rho · a^3}{3·\varepsilon_0 r} \)
Para el potencial en los puntos r < a, tenemos:
    \( \displaystyle \phi_1 = - \int E_1·dr = \frac{ \rho · r^2}{6·\varepsilon} + C_1 \)
Puesto que no puede haber discontinuidades de potencial, se tendrá que \( \phi_1 \textrm{ y } \phi_2 \) han de ser iguales en r = a. esta condición nos sirve para obtener C1:
    \( \displaystyle \phi_{12} = \left. \phi_1 \right]_{r=a} = \left. \phi_2 \right]_{r=a} \Rightarrow \phi_{12} = \frac{a^2 · \rho}{3 \varepsilon_0 } = - \frac{a^2 · \rho · }{6·\varepsilon} + C_1 \)
Y a partir de ahí tenemos:
    \( \displaystyle \begin{array}{l}
    C_1 = \frac{a^2 · \rho}{3} \left(\frac{1}{\varepsilon_0} + \frac{1}{2 \varepsilon}\right) \Rightarrow \phi_1 = \\ \\
    = - \frac{\rho · r^2}{6 \varepsilon} + \frac{a^2 · \rho}{3} \left(\frac{1}{\varepsilon_0} + \frac{1}{2 \varepsilon}\right)
    \end{array}\)
PROBLEMAS RESUELTOS DE ELECTROMAGNETISMO
 


tema escrito por: José Antonio Hervás