PROBLEMAS RESUELTOS DE FÍSICA
ejercicios resueltos de electromagnetismo

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Ejercicios resueltos de electromagnetismo

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Ejercicios de Electromagnetismo

Respuesta al ejercicio 9

Sabemos que la superficie de un conductor es equipotencial; por lo tanto, podemos hacer el sistema equivalente a uno cuyas superficies equipotenciales sean cilindros circulares de ejes paralelos.

esquema para magnetismo

Este es es caso de dos rectas paralelas separadas por una distancia 2s y cargadas con cargas iguales y contrarias. Para obtener el potencial debido a cada uno de los hilos, calculamos antes el campo aplicando el teorema de Gauss a un cilindro de longitud L cuyo eje coincida con el del cilindro positivo y negativo, respectivamente.
    \(\displaystyle 2 \pi · r_2 L · D_2 = \lambda · L \Rightarrow D_2 = \frac{\lambda}{2 \pi · r_2} \quad ; \quad D_1 = - \frac{\lambda}{2 \pi · r_1} \)
A partir de estos valores, las intensidades del campo y los potenciales, valdrán :
    \( \displaystyle E_1 = - \frac{\lambda}{2 \pi \varepsilon_0 r_1} \; ; \; E_2 = \frac{\lambda}{2 \pi \varepsilon_0 r_2} \)

    \( \displaystyle V_1 = - \frac{\lambda \ln r_1}{2 \pi \varepsilon_0} + C_1 \; ; \; V_2 = \frac{\lambda \ln r_2 }{2 \pi \varepsilon_0} + C_2 \)
El potencial total será la suma de ambos y, además, por la simetría del problema, será nulo cuando r1 = r2. De ese modo C1 + C2 = K = 0 y nos quedará :
    \( \displaystyle \begin{array}{l} V = V_1 + V_2 = \frac{\lambda}{2 \pi \varepsilon_0} \ln \left(\frac{r_2}{r_1}\right) + K \Rightarrow \\  \\ \Rightarrow (K=0) \Rightarrow V = \frac{\lambda}{2 \pi \varepsilon_0} \ln \left(\frac{r_2}{r_1}\right) \end{array}\)
Para conocer la distancia 2s, tomamos uno de los conductores. Considerando el esquema adjunto y teniendo en cuenta que los puntos P y Q del cilindro han de ser equipotenciales :
    \( \displaystyle \begin{array}{l} \frac{BP}{AP} = \frac{BQ}{AQ} \Rightarrow \frac{s + \displaystyle \left(\frac{d}{2} + a\right)}{a + \left( \displaystyle \frac{d}{2} - s\right)} = \frac{ \displaystyle s + \left(\frac{d}{2} - a\right)}{a - \displaystyle \left(\frac{d}{2} - s\right)} \Rightarrow \\  \\ \Rightarrow a^2 + s^2 = \left(\frac{d}{2}\right)^2 \end{array}\)
Por lo demás, el potencial debido a cada uno de los cilindros, valdrá :
    \( \displaystyle \begin{array}{l} V_1 = \frac{\lambda}{2 \pi \varepsilon_0} \ln \left[\frac{ \displaystyle s + \left(\frac{d}{2} + a\right)}{ \displaystyle a + \left(\frac{d}{2} - s\right)}\right] \\  \\ V_2 = - \frac{\lambda}{2 \pi \varepsilon_0} \ln \left[\frac{ \displaystyle s + \left(\frac{d}{2} + a\right)}{ \displaystyle a + \left(\frac{d}{2} - s\right)}\right] \end{array}\)
y de ahí, sustituyendo s por su valor :
    \( \displaystyle \begin{array}{l} V_1 - V_2 = \frac{\lambda}{\pi \varepsilon_0} \ln \left[\frac{ \displaystyle s + \left(\frac{d}{2} + a\right)}{ \displaystyle -s + \left(\frac{d}{2} + a \right)}\right] = \\  \\ = \frac{\lambda}{\pi \varepsilon_0} \ln \left[\frac{\sqrt{d^2 - 4a^2}+d+2a}{- \sqrt{d^2 - 4a^2}+d+2a}\right] \end{array}\)
La expresión del logaritmo puede simplificarse haciendo lo siguiente :
    \( \displaystyle \begin{array}{l} \ln \left[\frac{\sqrt{d^2 - 4a^2}+d+2a}{- \sqrt{d^2 - 4a^2}+d+2a}\right] = \\  \\ = \ln \frac{\left(\sqrt{d^2 - 4a^2}+d+2a\right)^2}{(d+2a)^2 - (d^2 - 4a^2)} = \ln \frac{d + \sqrt{d^2 - 4a^2}}{2a} \end{array}\)
y suponiendo \( 4a^2 << d^2 \) , resulta finalmente :
    \(\displaystyle V_1 - V_2 = \frac{\lambda}{\pi \varepsilon_0} \ln \frac{d}{a} \Rightarrow C = \frac{Q}{V_1 - V_2} = \frac{\pi \varepsilon_0}{\ln (d/a)} \)
Para obtener la fuerza sabemos que viene dada por F = dW/dx, siendo W la energía del sistema que vale \( W = \frac{1}{2}q_iV_i \) . En el caso que estamos considerando tenemos q = \( \lambda \) = cte y, por lo tanto :
    \( \displaystyle F = \frac{dW}{dx} = \frac{1}{2} \lambda \frac{d}{dx} \left(\frac{\lambda}{ \pi \varepsilon_0} \ln \frac{x}{a} \right) = \frac{1}{2} \frac{\lambda^2}{\pi \varepsilon_0 a} \)
PROBLEMAS RESUELTOS DE ELECTROMAGNETISMO
 


tema escrito por: José Antonio Hervás