Ejercicios de Electromagnetismo - Respuesta 7

Para resolver el problema ensayamos soluciones de la forma por lo cual :



El primer miembro de la ecuación final depende de x. El segundo es independiente de x. En esas condiciones podemos igualar ambas expresiones a una constante y escribir lo puesto. Dependiendo del parámetro obtenemos distintas soluciones para la ecuación del enunciado. La forma de dichas soluciones depende del dominio sobre el que está definida la ecuación. En el caso que nos ocupa tenemos el contorno 0 < x < 2 ; 0 < y < 3 con las siguientes condiciones

Φ (x,0) = 4 ; Φ (2, y) = 0 ; Φ (x, 3) = 0 ; Φ (0, y) = 0.

Consideramos entonces soluciones para la ecuación en X que satisfagan las condiciones :



Dadas las condiciones que tenemos, sólo nos interesa estudiar valores λ > 0, con lo que podemos poner :



X(0) = 0 nos da B = 0. De la segunda obtenemos y para que X(x) no sea idénticamente nula podemos tomar :



Con ese valor de λ , encontramos para la ecuación en Y :



En esas condiciones tenemos para Φ las soluciones particulares



por lo que podemos intentar representar la solución general mediante la serie de funciones :



y hemos de obtener el desarrollo en serie de senos de la función f(x) = 4. Para ello tenemos :



y, finalmente :