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DE FÍSICA
ejercicios resueltos de electromagnetismo

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Ejercicios resueltos de electromagnetismo

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Ejercicios de Electromagnetismo

Encontrar las soluciones con variables separadas de la ecuación de Laplace en coordenadas cartesianas rectangulares en un espacio bidimensional. Aplicar el resultado al cálculo del potencial en el interior de un rectángulo de 3 x 2 cm en el cual tres lados están a potencial nulo y el cuarto a cuatro voltios.

Respuesta al ejercicio 7

Para resolver el problema ensayamos soluciones de la forma \(\phi(x, y) = X(x)Y(y) \) por lo cual :
    \( \displaystyle \frac{\partial^2 \phi}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 \phi}{\partial y^2} \Rightarrow Y(y)\frac{d^2 \phi}{d x^2} + X(x)\frac{d^2 \phi}{d y^2} \)
Y separando variables:
    \( \displaystyle\frac{X^{\prime \prime}}{X} + \frac{Y^{\prime \prime}}{Y} \Rightarrow \frac{X^{\prime \prime}}{X} = - \frac{Y^{\prime \prime}}{Y} = - \lambda \quad \left\{\begin{array}{l} X^{\prime \prime} + \lambda X = 0 \\ \\ Y^{\prime \prime} - \lambda Y = 0 \end{array}\right. \)
El primer miembro de la ecuación final depende de x. El segundo es independiente de x. En esas condiciones podemos igualar ambas expresiones a una constante y escribir lo puesto. Dependiendo del parámetro obtenemos distintas soluciones para la ecuación del enunciado. La forma de dichas soluciones depende del dominio sobre el que está definida la ecuación. En el caso que nos ocupa tenemos el contorno 0 < x < 2 ; 0 < y < 3 con las siguientes condiciones
Φ (x,0) = 4 ; Φ (2, y) = 0 ; Φ (x, 3) = 0 ; Φ (0, y) = 0.
Consideramos entonces soluciones para la ecuación en X que satisfagan las condiciones :
    \( \begin{array}{l} X^{\prime \prime} + \lambda X = 0 \textrm{ con } X(0) = X(2) = 0 \rightarrow \\  \\ \rightarrow X = C_1 e^{+ \sqrt{-\lambda}X} + C_1 e^{- \sqrt{-\lambda}X} \end{array}\)
Dadas las condiciones que tenemos, sólo nos interesa estudiar valores \( \lambda > 0 \), con lo que podemos poner :
    \( X = A \sin \sqrt{\lambda}x + B \cos \sqrt{\lambda}x \)
X(0) = 0 nos da B = 0. De la segunda obtenemos \(0 = A \sin 2\sqrt{\lambda} \) y para que X(x) no sea idénticamente nula podemos tomar :
    \( \sin 2\sqrt{\lambda} = 0 \rightarrow 2\sqrt{\lambda} n \pi \rightarrow \lambda = (n/2)^2 \pi^2 \quad n = 1,2,3, \)
Con ese valor de \( \lambda \) , encontramos para la ecuación en Y :
    \( \displaystyle \begin{array}{l} Y^{\prime \prime} + \left(\frac{n \pi}{2}\right)^2Y = 0 \quad ; \quad \textrm{ con } Y(3) = 0 \rightarrow \\ \\ Y = C_1e^{+(n \pi/2)y} + C_2e^{-(n \pi/2)y} = \\ \\ = - C_1e^{3n \pi/2} \sinh \left(\frac{n \pi}{2}\right)(3-y) \end{array} \)
En esas condiciones tenemos para Φ las soluciones particulares
    \( \displaystyle \phi_n (x, y) = \sin \left[\left(\frac{n \pi}{2}\right)x \right] \sinh \left[\left(\frac{n \pi}{2}\right)(3-y)\right] \)
por lo que podemos intentar representar la solución general mediante la serie de funciones :
    \( \displaystyle \phi (x, y) = \sum \limits_{n=1}^\infty C_n \sin \left[\left(\frac{n \pi}{2}\right)x \right] \sinh \left[\left(\frac{n \pi}{2}\right)(3-y)\right]\)


    \( \displaystyle \textrm{ con } \phi (x, 0) = \sum \limits_{n=1}^\infty C_n \sin \left[\left(\frac{n \pi}{2}\right)x \right] \sinh \left[3 \left(\frac{n \pi}{2}\right)\right] = 4 \)
y hemos de obtener el desarrollo en serie de senos de la función f(x) = 4. Para ello tenemos :
    \( \displaystyle b_n = \frac{C_n}{\sinh \frac{3}{2} \pi n} = \frac{2}{2} \int \limits_0^2 4\sin \frac{n \pi x}{2} dx = - \frac{8}{\pi n}[(-1)^n - 1] \)
y, finalmente :
    \( \displaystyle \phi (x, y) = - \frac{8}{\pi} \sum \limits_{n=1}^\infty \frac{\sinh [k \pi (3-y)]}{k \sinh (3k \pi)} \sin (k \pi x) \quad \textrm{ con } k = n/2 \)
PROBLEMAS RESUELTOS DE ELECTROMAGNETISMO
 


tema escrito por: José Antonio Hervás