Encontrar
las soluciones con variables separadas de la ecuación de Laplace
en coordenadas cartesianas rectangulares en un espacio bidimensional.
Aplicar el resultado al cálculo del potencial en el interior de
un rectángulo de 3 x 2 cm en el cual tres lados están a
potencial nulo y el cuarto a cuatro voltios.
RESPUESTA 7
Para resolver el problema ensayamos soluciones de la forma
por
lo cual :
El primer miembro de la ecuación final depende de x. El segundo es independiente de x. En esas condiciones podemos igualar ambas expresiones a una constante y escribir lo puesto. Dependiendo del parámetro obtenemos distintas soluciones para la ecuación del enunciado. La forma de dichas soluciones depende del dominio sobre el que está definida la ecuación. En el caso que nos ocupa tenemos el contorno 0 < x < 2 ; 0 < y < 3 con las siguientes condiciones
Dadas las condiciones que tenemos, sólo nos interesa estudiar valores
> 0,
con lo que podemos poner :
X(0) = 0 nos da B = 0. De la segunda obtenemos
y
para que X(x) no sea idénticamente nula podemos tomar :
Con ese valor de,
encontramos para la ecuación en Y :
En esas condiciones tenemos para
las soluciones particulares
por lo que podemos intentar representar la solución general mediante la serie de funciones :
y hemos de obtener el desarrollo en serie de senos de la función f(x) = 4. Para ello tenemos :
y, finalmente :
RESPUESTA 7
Para resolver el problema ensayamos soluciones de la forma
por
lo cual :El primer miembro de la ecuación final depende de x. El segundo es independiente de x. En esas condiciones podemos igualar ambas expresiones a una constante y escribir lo puesto. Dependiendo del parámetro obtenemos distintas soluciones para la ecuación del enunciado. La forma de dichas soluciones depende del dominio sobre el que está definida la ecuación. En el caso que nos ocupa tenemos el contorno 0 < x < 2 ; 0 < y < 3 con las siguientes condiciones
Consideramos entonces soluciones para la ecuación en X que satisfagan las condiciones :
Dadas las condiciones que tenemos, sólo nos interesa estudiar valores
> 0,
con lo que podemos poner :X(0) = 0 nos da B = 0. De la segunda obtenemos
y
para que X(x) no sea idénticamente nula podemos tomar :Con ese valor de
,
encontramos para la ecuación en Y :En esas condiciones tenemos para
las soluciones particulares por lo que podemos intentar representar la solución general mediante la serie de funciones :
y hemos de obtener el desarrollo en serie de senos de la función f(x) = 4. Para ello tenemos :
y, finalmente :