Si consideramos que la permitividad de la esfera es εi
, la ecuación de Poisson en coordenadas esféricas
se expresa:
Si la carga está distribuida uniformemente en el interior
de la esfera, tendremos :
y a partir de ahí :
Por otro lado, en los puntos fuera de la esfera se cumple que
la carga es nula y, por lo tanto, también es nula la
densidad de carga. Así pues, tendremos :
Sabemos que el campo eléctrico es igual al gradiente
cambiado de signo del potencial, por lo que en cada caso tendremos
:
Para determinar las cuatro constantes arbitrarias tenemos las
siguientes condiciones :
De la primera y la última obtenemos C4 = 0 y C1 = 0 ;
para las otras dos resulta :
