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DE FÍSICA
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Ejercicios resueltos de electromagnetismo

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Ejercicios de Electromagnetismo

Por Integración de la ecuación de Poisson, encontrar el potencial y el campo en todo el espacio por efecto de una carga q uniformemente distribuida en el interior de una esfera de radio R.

Respuesta al ejercicio 6

Si consideramos que la permitividad de la esfera es \( \varepsilon_i \) , la ecuación de Poisson en coordenadas esféricas se expresa:
    \( \displaystyle \begin{array}{l} \nabla^2 \phi = \frac{\partial^2 \phi}{\partial r^2} + \frac{1}{r^2} \frac{\partial^2 \phi}{\partial \theta^2} + \frac{1}{r^2 \sin^2 \theta} \frac{\partial^2 \phi}{\partial \varphi^2} + \frac{2}{r} \frac{\partial \phi} {\partial r} + \\  \\ + \frac{\cot \theta}{r} \frac{\partial \phi}{\partial \theta} = - \frac{\rho}{\varepsilon_i} \end{array}\)
Si la carga está distribuida uniformemente en el interior de la esfera, tendremos :
    \( \displaystyle \nabla^2 \phi = \frac{\partial^2 \phi}{\partial r^2} + \frac{2}{r} \frac{\partial \phi}{\partial r} = \frac{\rho}{\varepsilon_i} \Rightarrow \frac{1}{r^2}\frac{d}{dr}\left(r^2 \frac{d \phi}{dr}\right) = - \frac{\rho}{\varepsilon_i} \)
y a partir de ahí :
    \( \displaystyle \begin{array}{l} \frac{d}{dr}\left(r^2 \frac{d \phi}{dr}\right) = - \frac{\rho}{\varepsilon_i} r^2 \; ; \; r^2 \frac{d \phi}{dr} = - \frac{\rho}{3 \varepsilon_i}r^3 + C_1 \Rightarrow \phi = \\  \\ = - \frac{\rho}{6 \varepsilon_i}r^2 + \frac{C_1}{r} + C_2 \end{array}\)
Por otro lado, en los puntos fuera de la esfera se cumple que la carga es nula y, por lo tanto, también es nula la densidad de carga. Así pues, tendremos :
    \( \displaystyle \frac{1}{r^2}\frac{d}{dr}\left(r^2 \frac{d \phi}{dr}\right) = 0 \Rightarrow \frac{d}{dr}\left(r^2 \frac{d \phi}{dr}\right) = 0 \Rightarrow r^2 \frac{d \phi}{dr} = C_3 \)

    \( \displaystyle \Rightarrow \frac{d \phi}{dr} = \frac{C_3}{r^2} \; ; \; \phi_2 = - \frac{C_3}{r} + C_4 \)
Sabemos que el campo eléctrico es igual al gradiente cambiado de signo del potencial, por lo que en cada caso tendremos :
    \( \begin{array}{l} \displaystyle \vec{E}_1 = - grad \phi_1 = \left(\frac{\rho}{3\varepsilon_i}r - \frac{C_1}{r^2}\right)\vec{u}_r \Rightarrow \\ \\ \Rightarrow \vec{D}_1 = \left(\frac{\rho}{3}r - \frac{C_1}{r^2}\varepsilon_i\right)\vec{u}_r \\ \\ \displaystyle \vec{E}_2 = - grad \phi_2 = - \frac{C_1}{r^2}\vec{u}_r \\ \\ \vec{D}_2 = \varepsilon_0 \vec{E}_2 = - \frac{C_3}{r^2} \varepsilon_0 \vec{u}_r \end{array} \)
Para determinar las cuatro constantes arbitrarias tenemos las siguientes condiciones :
    \( \begin{array}{l} \phi_2 (\infty) = 0 \; ; \; \phi_2 (R) = \phi_1 (R) \\  \\ D_{1N} (R) = D_{2N} (R) \; ; \; D < \infty \textrm{ en } r = 0 \end{array}\)
De la primera y la última obtenemos C4 = 0 y C1 = 0 ; para las otras dos resulta :
    \( \displaystyle \begin{array}{l} \phi_2 (R) = - \frac{C_3}{R} = \phi_1 (R) = - \frac{\rho R^2}{6 \varepsilon_i} + C_2 ; \\  \\ D_{2N} (R) = - \frac{C_3 \varepsilon_0}{R^2} = D_{1N} (R) = \frac{\rho R}{3} \end{array}\)
con lo cual :
    \( \displaystyle C_3 = \frac{\rho}{3\varepsilon_0} R^3 \; ; \; C_2 = \frac{\rho}{3}R^2 \left(\frac{1} {\varepsilon_0} + \frac{1}{2 \varepsilon_i}\right) \)
Por todo ello tenemos, siendo: \( \rho = 3Q/4 \pi R^3 \)
    \( \begin{array}{l} \displaystyle \phi_1 = - \frac{Q}{8 \pi \varepsilon_i}\frac{r^2}{R^3} + \frac{Q}{8 \pi R} \left(\frac{1}{\varepsilon_0} + \frac{\rho}{2 \varepsilon_i}\right) \\ \\ \vec{E}_1 = \frac{Q}{4 \pi \varepsilon_i}\frac{r}{R^3}\vec{u}_r \\ \\ \\ \displaystyle \phi_2 = \frac{\rho}{3 \varepsilon_0}\frac{R^2}{r} = \frac{Q}{4 \pi \varepsilon_0}\frac{1}{r} \; ; \; \vec{E}_2 = \frac{Q}{4 \pi \varepsilon_0}\frac{1}{r^2}\vec{u}_r \end{array} \)
PROBLEMAS RESUELTOS DE ELECTROMAGNETISMO
 


tema escrito por: José Antonio Hervás