PROBLEMAS RESUELTOS DE FÍSICA
ejercicios resueltos de electromagnetismo

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Ejercicios resueltos de electromagnetismo

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Ejercicios de Electromagnetismo

Respuesta al ejercicio 5
Para resolver el problema aplicamos la ecuación de Poisson en coordenadas cartesianas:
    \( \nabla^2 \phi = - \rho / \varepsilon_0 \)
Por la naturaleza del problema podemos considerar que el potencial sólo dependerá de la coordenada x y tendremos:
    \( \displaystyle \frac{\partial^2 \phi}{\partial x^2} = - \frac{\rho}{\varepsilon_0} \; \Rightarrow \;\frac{du}{dx} = - \frac{\rho}{\varepsilon_0} \; \Rightarrow \; u = \frac{d \phi}{dx} = - \frac{\rho}{\varepsilon_0} x + C_1 \)

    \( \displaystyle \phi = - \frac{\rho}{\varepsilon_0} x^2 + C_1x + C_2 \)
Las constantes C1 y C2 las obtenemos a partir de las condiciones de contorno:
    \( \phi = V_1 \; \textrm{ en } x = 0 \; ; \; \phi = V_2 \; \textrm{ en } x = d \)
con lo que tenemos:
    \( \displaystyle \begin{array}{l} V_1 = C_2 \; ; \; V_2 = - \frac{\rho}{\varepsilon_0} d^2 + C_1d + C_2 \; \Rightarrow \\  \\ \Rightarrow C_1 = \frac{V_1 - V_2}{d} + \frac{\rho}{2 \varepsilon_0}d \end{array}\)
y de ahí :
    \( \displaystyle \phi = - \frac{\rho}{\varepsilon_0} x^2 + \left( \frac{V_1 - V_2}{d} + \frac{\rho}{2 \varepsilon_0}d \right)x + V_1 \)
Por otra parte, el campo eléctrico viene dado por el gradiente cambiado de signo del potencial con lo que en nuestro caso tendremos:
    \( \displaystyle E = - \frac{d \phi}{dx} = \frac{\rho}{\varepsilon_0} x - \left( \frac{V_1 - V_2}{d} + \frac{\rho}{2 \varepsilon_0}d \right)x \)
PROBLEMAS RESUELTOS DE ELECTROMAGNETISMO
 


tema escrito por: José Antonio Hervás