PROBLEMAS RESUELTOS DE FÍSICA
ejercicios resueltos de electromagnetismo

Ver enunciado en

Ejercicios resueltos de electromagnetismo

Estás en : Matemáticas y Poesía > Ejercicios resueltos

 

Ejercicios de Electromagnetismo

Respuesta al ejercicio 4
Para calcular la distribución del campo eléctrico tenemos varias regiones. Para r < R0, por el teorema de Gauss podemos poner :
    \( \displaystyle \int \limits_S EdS = \frac{q}{\varepsilon_0} \Rightarrow 4 \pi r^2E = \frac{q}{\varepsilon_0} \Rightarrow E = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{q}{r^2} \)
pero el valor de q puede obtenerse a partir de
    \( \displaystyle \frac{Q}{(4/3) \pi R_0^3} = \frac{q}{(4/3) \pi r^3} \Rightarrow q = \frac{r^3}{R_0^3}Q \)
y, finalmente :
    \( \displaystyle E = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{r}{R_0^3}Q \)
Para los puntos en los que r está comprendido entre R0 y R tenemos :
    \( \displaystyle \int \limits_S EdS = \frac{Q}{\varepsilon_0} \Rightarrow 4 \pi r^2E = \frac{Q}{\varepsilon_0} \Rightarrow E = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{Q}{r^2} \)
Para los puntos situados dentro o exteriormente a la capa esférica, podemos suponer que dicha capa es superficial puesto que tenemos :
    \( \displaystyle \triangle R = 3R_0 10^{-12} << R = \frac{1}{3}R_010^6 \)
y, por lo tanto, solo hemos de considerar el campo eléctrico para puntos fuera de la capa esférica en los que se tendrá E = 0, ya que la carga de la capa se anula con la de la superficie de la esfera interior.
Para obtener la energía electrostática del sistema tenemos en cuenta que a partir de r mayor o igual que R el campo eléctrico se hace nulo por no existir carga efectiva. Por todo ello, la energía del sistema la obtendremos a partir de la expresión :
    \( \displaystyle W = \frac{1}{2}\varepsilon_0 \iiint E^2 dV \)
y la calculamos como sigue:
    \( \displaystyle W = \frac{1}{2}\varepsilon_0 \int \limits_0^{2 \pi} d\varphi \int \limits_0^\pi \sin \theta d \theta \int \limits_0^{R_0} r^2 \left( \frac{rQ}{4 \pi \varepsilon_0 R_0^3}\right)^2dr + \)

    \( \displaystyle + \frac{1}{2}\varepsilon_0 \int \limits_0^{2 \pi} d\varphi \int \limits_0^\pi \sin \theta d \theta \int \limits_{R_0}^R r^2 \left( \frac{Q}{4 \pi \varepsilon_0 r^2}\right)^2dr \)
y simplificando y teniendo en cuenta el valor de R :
    \( \displaystyle W = \frac{Q^2}{8 \pi \varepsilon_0 R_0^6} \int \limits_0^{R_0}r^4 dr + \frac{Q^2}{8 \pi \varepsilon_0} \int \limits_0^{R_0}\frac{1}{r^2} dr = \frac{Q^2}{8 \pi \varepsilon_0 R_0}\left(\frac{6}{5} - \frac{3}{10^6}\right) \)
Si quitamos la mitad de la carga –Q de la capa esférica es como si sobre los puntos situados a una distancia r > R actuara una carga de valor Q/2 situada en el centro de una esfera de radio R + ΔR ≈ R. En estas condiciones, el campo para puntos situados a una distancia r > R será :
    \( \displaystyle E = \frac{1}{8 \pi \varepsilon_0}\frac{Q}{r^2} \)
y al valor de la energía eléctrica anteriormente determinado habrá que sumarle el término:
    \( \displaystyle\begin{array}{l} W = \frac{1}{2}\varepsilon_0 \int \limits_0^{2 \pi} d\varphi \int \limits_0^\pi \sin \theta d \theta \int \limits_R^{\infty} r^2\left( \frac{Q}{8 \pi \varepsilon_0 r^2}\right)^2dr = \\  \\ = \frac{Q^2}{32 \pi \varepsilon_0 R} = \frac{3Q^2}{32 \pi \varepsilon_0 10^6 R_0} \end{array} \)
PROBLEMAS RESUELTOS DE ELECTROMAGNETISMO
 


tema escrito por: José Antonio Hervás