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ejercicios resueltos de electromagnetismo

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Ejercicios resueltos de electromagnetismo

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Ejercicios de Electromagnetismo

Tenemos un sistema de cargas constituido por una distribución uniforme de una carga Q sobre una esfera de radio R0 y otra carga –Q distribuida uniformemente sobre una capa esférica concéntrica con la esfera, de radio interior R = (R0/3).106 y de espesor \( \triangle R = 3R_010^{-12}\).
a) Calcular la distribución de campo en función de la distancia r al centro.
b) Calcular la energía electrostática del sistema
c) Si por algún procedimiento quitamos la mitad de la carga –Q de la capa esférica, ¿cuál es la variación de energía electrostática del sistema?.
Respuesta al ejercicio 4
Para calcular la distribución del campo eléctrico tenemos varias regiones. Para r < R0, por el teorema de Gauss podemos poner :
    \( \displaystyle \int \limits_S EdS = \frac{q}{\varepsilon_0} \Rightarrow 4 \pi r^2E = \frac{q}{\varepsilon_0} \Rightarrow E = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{q}{r^2} \)
pero el valor de q puede obtenerse a partir de
    \( \displaystyle \frac{Q}{(4/3) \pi R_0^3} = \frac{q}{(4/3) \pi r^3} \Rightarrow q = \frac{r^3}{R_0^3}Q \)
y, finalmente :
    \( \displaystyle E = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{r}{R_0^3}Q \)
Para los puntos en los que r está comprendido entre R0 y R tenemos :
    \( \displaystyle \int \limits_S EdS = \frac{Q}{\varepsilon_0} \Rightarrow 4 \pi r^2E = \frac{Q}{\varepsilon_0} \Rightarrow E = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{Q}{r^2} \)
Para los puntos situados dentro o exteriormente a la capa esférica, podemos suponer que dicha capa es superficial puesto que tenemos :
    \( \displaystyle \triangle R = 3R_0 10^{-12} << R = \frac{1}{3}R_010^6 \)
y, por lo tanto, solo hemos de considerar el campo eléctrico para puntos fuera de la capa esférica en los que se tendrá E = 0, ya que la carga de la capa se anula con la de la superficie de la esfera interior.
Para obtener la energía electrostática del sistema tenemos en cuenta que a partir de r mayor o igual que R el campo eléctrico se hace nulo por no existir carga efectiva. Por todo ello, la energía del sistema la obtendremos a partir de la expresión :
    \( \displaystyle W = \frac{1}{2}\varepsilon_0 \iiint E^2 dV \)
y la calculamos como sigue:
    \( \displaystyle W = \frac{1}{2}\varepsilon_0 \int \limits_0^{2 \pi} d\varphi \int \limits_0^\pi \sin \theta d \theta \int \limits_0^{R_0} r^2 \left( \frac{rQ}{4 \pi \varepsilon_0 R_0^3}\right)^2dr + \)

    \( \displaystyle + \frac{1}{2}\varepsilon_0 \int \limits_0^{2 \pi} d\varphi \int \limits_0^\pi \sin \theta d \theta \int \limits_{R_0}^R r^2 \left( \frac{Q}{4 \pi \varepsilon_0 r^2}\right)^2dr \)
y simplificando y teniendo en cuenta el valor de R :
    \( \displaystyle W = \frac{Q^2}{8 \pi \varepsilon_0 R_0^6} \int \limits_0^{R_0}r^4 dr + \frac{Q^2}{8 \pi \varepsilon_0} \int \limits_0^{R_0}\frac{1}{r^2} dr = \frac{Q^2}{8 \pi \varepsilon_0 R_0}\left(\frac{6}{5} - \frac{3}{10^6}\right) \)
Si quitamos la mitad de la carga –Q de la capa esférica es como si sobre los puntos situados a una distancia r > R actuara una carga de valor Q/2 situada en el centro de una esfera de radio R + ΔR ≈ R. En estas condiciones, el campo para puntos situados a una distancia r > R será :
    \( \displaystyle E = \frac{1}{8 \pi \varepsilon_0}\frac{Q}{r^2} \)
y al valor de la energía eléctrica anteriormente determinado habrá que sumarle el término:
    \( \displaystyle\begin{array}{l} W = \frac{1}{2}\varepsilon_0 \int \limits_0^{2 \pi} d\varphi \int \limits_0^\pi \sin \theta d \theta \int \limits_R^{\infty} r^2\left( \frac{Q}{8 \pi \varepsilon_0 r^2}\right)^2dr = \\  \\ = \frac{Q^2}{32 \pi \varepsilon_0 R} = \frac{3Q^2}{32 \pi \varepsilon_0 10^6 R_0} \end{array} \)
PROBLEMAS RESUELTOS DE ELECTROMAGNETISMO
 


tema escrito por: José Antonio Hervás