Ejercicios de Electromagnetismo
Tenemos un sistema de cargas constituido por una distribución
uniforme de una carga Q sobre una esfera de radio R0
y otra carga –Q distribuida uniformemente sobre una capa
esférica concéntrica con la esfera, de radio interior
R = (R0/3).106 y de espesor \( \triangle
R = 3R_0·10^{-12}\).
a) Calcular la distribución de campo en función
de la distancia r al centro.
b) Calcular la energía electrostática del sistema
c) Si por algún procedimiento quitamos la mitad de
la carga –Q de la capa esférica, ¿cuál
es la variación de energía electrostática
del sistema?.
Respuesta al ejercicio 4
Para calcular la distribución del campo eléctrico
tenemos varias regiones. Para r < R
0, por el teorema
de Gauss podemos poner :
\( \displaystyle \int \limits_S E·dS = \frac{q}{\varepsilon_0}
\Rightarrow 4· \pi · r^2·E = \frac{q}{\varepsilon_0} \Rightarrow
E = \frac{1}{4· \pi · \varepsilon_0} · \frac{q}{r^2} \)
pero el valor de q puede obtenerse a partir de
\( \displaystyle \frac{Q}{(4/3) \pi · R_0^3} = \frac{q}{(4/3)
\pi · r^3} \Rightarrow q = \frac{r^3}{R_0^3}·Q \)
y, finalmente :
\( \displaystyle E = \frac{1}{4 · \pi · \varepsilon_0} · \frac{r}{R_0^3}·Q
\)
Para los puntos en los que r está comprendido entre R
0
y R tenemos :
\( \displaystyle \int \limits_S E·dS = \frac{Q}{\varepsilon_0}
\Rightarrow 4· \pi · r^2·E = \frac{Q}{\varepsilon_0} \Rightarrow
E = \frac{1}{4· \pi · \varepsilon_0} · \frac{Q}{r^2} \)
Para los puntos situados dentro o exteriormente a la capa esférica,
podemos suponer que dicha capa es superficial puesto que tenemos
:
\( \displaystyle \triangle R = 3R_0 · 10^{-12} << R = \frac{1}{3}·R_0·10^6
\)
y, por lo tanto, solo hemos de considerar el campo eléctrico
para puntos fuera de la capa esférica en los que se tendrá
E = 0, ya que la carga de la capa se anula con la de la superficie
de la esfera interior.
Para obtener la energía electrostática del sistema
tenemos en cuenta que a partir de r mayor o igual que R el campo
eléctrico se hace nulo por no existir carga efectiva. Por
todo ello, la energía del sistema la obtendremos a partir
de la expresión :
\( \displaystyle W = \frac{1}{2}·\varepsilon_0 \iiint E^2 ·
dV \)
y la calculamos como sigue:
\( \displaystyle W = \frac{1}{2}·\varepsilon_0 \int \limits_0^{2
\pi} d\varphi \int \limits_0^\pi \sin \theta d \theta \int \limits_0^{R_0}
r^2 ·\left( \frac{r·Q}{4 · \pi · \varepsilon_0 R_0^3}\right)^2·dr
+ \)
\( \displaystyle + \frac{1}{2}·\varepsilon_0 \int \limits_0^{2
\pi} d\varphi \int \limits_0^\pi \sin \theta d \theta \int \limits_{R_0}^R
r^2 ·\left( \frac{Q}{4 · \pi · \varepsilon_0 r^2}\right)^2·dr
\)
y simplificando y teniendo en cuenta el valor de R :
\( \displaystyle W = \frac{Q^2}{8 \pi \varepsilon_0 R_0^6} \int
\limits_0^{R_0}r^4 dr + \frac{Q^2}{8 \pi \varepsilon_0} \int
\limits_0^{R_0}\frac{1}{r^2} dr = \frac{Q^2}{8 \pi · \varepsilon_0
· R_0}\left(\frac{6}{5} - \frac{3}{10^6}\right) \)
Si quitamos la mitad de la carga –Q de la capa esférica
es como si sobre los puntos situados a una distancia r > R
actuara una carga de valor Q/2 situada en el centro de una esfera
de radio R + ΔR ≈ R. En estas condiciones, el campo
para puntos situados a una distancia r > R será :
\( \displaystyle E = \frac{1}{8 \pi · \varepsilon_0}·\frac{Q}{r^2}
\)
y al valor de la energía eléctrica anteriormente
determinado habrá que sumarle el término:
\( \displaystyle\begin{array}{l} W = \frac{1}{2}·\varepsilon_0
\int \limits_0^{2 \pi} d\varphi \int \limits_0^\pi \sin \theta
d \theta \int \limits_R^{\infty} r^2\left( \frac{Q}{8 · \pi
· \varepsilon_0 r^2}\right)^2dr = \\ \\ = \frac{Q^2}{32 \pi
\varepsilon_0 R} = \frac{3·Q^2}{32 \pi \varepsilon_0 · 10^6
R_0} \end{array} \)