Ejercicios de Electromagnetismo - Respuesta 3

Para resolver este problema vamos a obtener primero el campo eléctrico y para ello consideraremos independientemente las
dos densidades de carga, es decir, que desglosaremos el problema en dos.
1º) Calcularemos el campo eléctrico para una distribución de carga dada por :



2º) Calcularemos el campo eléctrico para una distribución de carga dada por :



Para el primer caso, tomando una esfera de radio r y aplicando el teorema de Gauss, tenemos :



de donde se deduce con facilidad que el campo eléctrico viene dado por :



y la expresión se cumple para puntos en los que r es estrictamente menor que R₀. Análogamente, para puntos en los que r es
mayor o igual que R₀ obtenemos :



y en este caso el campo eléctrico valdrá :



Si consideramos la segunda distribución, para los puntos en que r es estrictamente menor que R₀ obtenemos que el campo es nulo por serlo la densidad de carga en esa región. Para los puntos en los que r es mayor o igual que R₀ tenemos :



y a partir de ahí resulta :



Considerando que el problema tiene simetría radial podemos sumar las soluciones obtenidas con cada distribución para llegar a :



Para calcular el potencial hacemos de igual modo (desglosar en dos el problema inicial) y aplicamos la ecuación de Poisson
en coordenadas esféricas, teniendo en cuenta que la distribución de carga solo depende de r.
Para la primera distribución, en r menor que R₀ :



Para la segunda distribución de carga, en r mayor o igual que R₀:



La solución al problema para el caso del potencial vendrá dada por la suma de las dos soluciones parciales. Para obtener el valor de las constantes tenemos en cuenta que el gradiente cambiado de signo del potencial es igual al campo eléctrico y, por tanto en r menor que R0:



Y , análogamente, en r mayor o igual que R₀:



Según eso podemos poner :



Para determinar las constantes C₃ y C₄ necesitamos dos condiciones pero no podemos hacer uso del hecho de que el potencial tiende a cero cuando r tienda a infinito puesto que tenemos un término de la forma Ln r. Solo podemos considerar, entonces, que el potencial ha de ser continuo en r = R₀ y obtener una de las constantes a partir de la otra.



Dándole a C₂ el valor 0 resulta para C₄ :



y, finalmente :



Para calcular el campo E_b aplicamos el teorema de Gauss:



y puesto que se ha de cumplir que E_b = 0,9.E_a tendremos :



y haciendo operaciones resulta R = 189,3 cm.