PROBLEMAS RESUELTOS DE FÍSICA
ejercicios resueltos de electromagnetismo

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Ejercicios resueltos de electromagnetismo

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Ejercicios de Electromagnetismo

Respuesta al ejercicio 2
Vamos a considerar que dividimos la semiesfera en meridianos y paralelos, de tal modo que se forme una red constituida por elementos como el representado en la figura adjunta.
meridianos y paralelos

Por la simetría del problema, las componentes perpendiculares al eje OA se anulan dos a dos y sólo tendrán efecto las componentes tangenciales a dicho eje. Podemos suponer entonces que el valor del campo eléctrico en el punto O será :
    \( \displaystyle E = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \int \limits_S \frac{d q}{R^2} \cos \theta = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \int \limits_S \frac{ \sigma dS} {R^2} \cos \theta \)
Siendo R el radio de la esfera coincidente con el hemisferio y dq la carga contenida en el elemento diferencial dS, que vale:
    \( dS = Rd\theta (R \sin \theta) d\varphi = R^2 \sin \theta d\theta d\varphi \)
donde \( \varphi \; y \; \theta \) son, respectivamente, el ángulo polar y la colatitud de la esfera. En esas condiciones, sustituyendo en la
anterior expresión, tendremos:
    \( \displaystyle \begin{array}{l}
    E = \frac{ \sigma}{4 · \pi · \varepsilon_0} \iint \limits_S \frac{R^2 · \sin \theta ·d \theta · d\varphi}{R^2} · \cos \theta = \\
     \\
    = \frac{ \sigma}{4 · \pi · \varepsilon_0} \iint \limits_S \sin \theta · \cos \theta ·d \theta · d\varphi
    \end{array}\)
y considerando que los límites de integración para las variables que estamos considerando son :
    \( 0 \leq \theta \leq \pi /2 \; ; \; 0 \leq \varphi \leq 2\pi \)
nos queda:
    \( \displaystyle E = \frac{ \sigma}{4 \pi \varepsilon_0} \int \limits_0^{2 \pi} d \varphi \int \limits_0^{\pi /2} \sin \theta \cos \theta d \theta = \frac{\sigma}{2 \varepsilon_0}\left[\frac{1}{2} \sin ^2 \theta \right]_0^{ \pi /2} = \frac{\sigma}{4 \varepsilon_0} \)
que es el valor del campo eléctrico en el punto O.
Sustituyendo los valores de la densidad de carga y de la constante dieléctrica se obtiene el resultado numérico buscado.
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tema escrito por: José Antonio Hervás