PROBLEMAS RESUELTOS DE FÍSICA
ejercicios resueltos de electromagnetismo

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Ejercicios resueltos de electromagnetismo

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Ejercicios de Electromagnetismo

Respuesta al ejercicio 1
Dada una superficie cualquiera, sabemos que el gradiente en un punto de la función que representa a dicha superficie nos determina un vector normal a ella en el punto considerado.
    \( \displaystyle \begin{array}{l} \nabla \left[\left(\frac{x}{a}\right)^2 + \left(\frac{y}{b}\right)^2 + \left(\frac{z}{c}\right)^2 - 1 \right] = \\  \\ = \frac{\partial F}{\partial x}\hat{i} + \frac{\partial F}{\partial y}\hat{j} + \frac{\partial F}{\partial z}\hat{k} = \frac{2x}{a^2}\hat{i} + \frac{2y}{b^2}\hat{j} + \frac{2z}{c^2}\hat{k} \end{array}\)
Para que el vector sea unitario, lo multiplicamos por el inverso de su módulo:
    \( \displaystyle \vec{n} = \frac{Grad \vec{F}}{|Grad \; F|} = \frac{\left( \displaystyle \frac{x}{a^2}\hat{i} + \frac{y}{b^2}\hat{j} + \frac{z}{c^2}\hat{k}\right)} { \displaystyle \sqrt{\frac{x}{a^4} + \frac{y^2}{b^4} + \frac{z^2}{c^4}}} \)
La segunda parte del problema consiste en calcular el flujo del vector r a través de S. Para resolver esta parte del problema
aplicamos la fórmula de Gauss – Ostrogradsky :
    \( \displaystyle \begin{array}{l} \int \limits_S \vec{r} d\vec{S} = \iint \limits_S (Pdy dz + Qdx dz + R dx dy) = \\  \\ = \iiint \limits_V \left(\frac{\partial P}{\partial x} + \frac{\partial Q}{\partial y} + \frac{\partial R}{\partial z}\right)dx dy dz \end{array}\)
En nuestro caso tenemos
    \( \displaystyle \begin{array}{l}
    P = x \; ; \; Q = y \; ; \; R = z \; ; \; \frac{\partial P}{\partial x} = 1 \; ; \; \frac{\partial Q}{\partial y} = 1 \; ; \; \frac{\partial R}{\partial z} = 1 \; ; \; \\
     \\
    \frac{\partial P}{\partial x} + \frac{\partial Q}{\partial y} + \frac{\partial R}{\partial z} = 3
    \end{array}\)
Con lo que nos quedará :
    \( \displaystyle\begin{array}{l} \int \limits_S \vec{r} d\vec{S} = \iint \limits_S (xdy dz + ydx dz + z dx dy) = \\  \\ = \iiint \limits_V 3dx dy dz = 3 \iiint \limits_V dV \end{array} \)
Siendo V el volumen encerrado en la superficie (*) del elipsoide. Si realizamos el cambio de variables en la forma :
    \( \displaystyle \frac{x}{a} = r \sin \theta \cos \varphi \; ; \; \frac{y}{b} = r \sin \theta \sin \varphi \; ; \; \frac{z}{c} = r \cos \varphi \)
El jacobiano y los límites de integración quedarán:
    \( |J| = abcr^2 \sin \theta \; ; \; 0 \leq \theta \leq \pi \; ; \; 0 \leq \varphi \leq 2\pi \; ; \; 0 \leq r \leq 1 \)
con lo que la integral resultará :
    \( \displaystyle 3 \iiint \limits_V abcr^2 \sin \theta d\theta d\varphi dr = 3abc \int \limits_0^{2 \pi} d \varphi \int \limits_0^{\pi} \sin \theta d \theta \int \limits_0^1 r^2 dr = 4abc \pi \)
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tema escrito por: José Antonio Hervás