Ejercicios de Electromagnetismo
Dada la superficie del elipsoide:
\( \displaystyle F(x,y,z) = \left(\frac{x}{a}\right)^2 + \left(\frac{y}{b}\right)^2
+ \left(\frac{z}{c}\right)^2 - 1 = 0 \qquad (\ast) \)
a) Calcular el vector unitario normal en cada punto de la superficie
del elipsoide.
b) Calcular la integral :
\( \displaystyle \int \limits_S \vec{r}· d\vec{S} \)
sobre el elipsoide, siendo :
\( \vec{r} = x·\vec{u}_x + y·\vec{u}_y + z·\vec{u}_z
\)
Respuesta al ejercicio 1
Dada una superficie cualquiera, sabemos que el gradiente en un
punto de la función que representa a dicha superficie nos
determina un vector normal a ella en el punto considerado.
\( \displaystyle \begin{array}{l} \nabla \left[\left(\frac{x}{a}\right)^2
+ \left(\frac{y}{b}\right)^2 + \left(\frac{z}{c}\right)^2 -
1 \right] = \\ \\ = \frac{\partial F}{\partial x}\hat{i} +
\frac{\partial F}{\partial y}\hat{j} + \frac{\partial F}{\partial
z}\hat{k} = \frac{2x}{a^2}\hat{i} + \frac{2y}{b^2}\hat{j} +
\frac{2z}{c^2}\hat{k} \end{array}\)
Para que el vector sea unitario, lo multiplicamos por el inverso
de su módulo:
\( \displaystyle \vec{n} = \frac{Grad \vec{F}}{|Grad \; F|}
= \frac{\left( \displaystyle \frac{x}{a^2}·\hat{i} + \frac{y}{b^2}·\hat{j}
+ \frac{z}{c^2}·\hat{k}\right)} { \displaystyle \sqrt{\frac{x}{a^4}
+ \frac{y^2}{b^4} + \frac{z^2}{c^4}}} \)
La segunda parte del problema consiste en calcular el flujo del
vector r a través de S. Para resolver esta parte del problema
aplicamos la fórmula de Gauss – Ostrogradsky :
\( \displaystyle \begin{array}{l} \int \limits_S \vec{r}· d\vec{S}
= \iint \limits_S (P·dy dz + Q·dx dz + R· dx dy) = \\ \\ =
\iiint \limits_V \left(\frac{\partial P}{\partial x} + \frac{\partial
Q}{\partial y} + \frac{\partial R}{\partial z}\right)dx dy dz
\end{array}\)
En nuestro caso tenemos
\( \displaystyle \begin{array}{l}
P = x \; ; \; Q = y \; ; \; R = z \; ; \; \frac{\partial P}{\partial
x} = 1 \; ; \; \frac{\partial Q}{\partial y} = 1 \; ; \; \frac{\partial
R}{\partial z} = 1 \; ; \; \\
\\
\frac{\partial P}{\partial x} + \frac{\partial Q}{\partial y}
+ \frac{\partial R}{\partial z} = 3
\end{array}\)
Con lo que nos quedará :
\( \displaystyle\begin{array}{l} \int \limits_S \vec{r}· d\vec{S}
= \iint \limits_S (x·dy dz + y·dx dz + z· dx dy) = \\ \\ =
\iiint \limits_V 3·dx dy dz = 3 \iiint \limits_V dV \end{array}
\)
Siendo V el volumen encerrado en la superficie (*) del elipsoide.
Si realizamos el cambio de variables en la forma :
\( \displaystyle \frac{x}{a} = r· \sin \theta ·\cos \varphi
\; ; \; \frac{y}{b} = r· \sin \theta ·\sin \varphi \; ; \; \frac{z}{c}
= r· \cos \varphi \)
El jacobiano y los límites de integración quedarán:
\( |J| = a·b·c·r^2 · \sin \theta \; ; \; 0 \leq \theta \leq
\pi \; ; \; 0 \leq \varphi \leq 2\pi \; ; \; 0 \leq r \leq 1
\)
con lo que la integral resultará :
\( \displaystyle 3 \iiint \limits_V abc·r^2 \sin \theta d\theta
d\varphi dr = 3abc \int \limits_0^{2 \pi} d \varphi \int \limits_0^{\pi}
\sin \theta d \theta \int \limits_0^1 r^2 dr = 4abc· \pi \)