PROBLEMAS RESUELTOS DE MATEMÁTICAS
ejercicios resueltos de ecuaciones diferenciales ordinarias

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Ejercicios resueltos de Ecuaciones Diferenciales

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Ejercicios de ecuaciones diferenciales

Respuesta al ejercicio 59

Obtenemos los valores propios de la matriz de los coeficientes, A
    \(\begin{array}{l} |A-rI| = 0 \; ; \; r^3 - 6r^2 + 12r - 8 = 0 \\  \\ (r-2)^3 = 0\; ; \; r = 2(triple) \end{array} \)
Los vectores propios que podemos obtener serán, necesariamente, menos de tres y vendrán dados por la ecuación matricial
    \(\vec{X}'= \left( \begin{array}{ccc} -1 & 1 & 1 \\ 2 & -1 & -1 \\ -3 & 2 & 2 \\ \end{array} \right)\left( \begin{array}{c} \xi_1 \\ \xi_2 \\ \xi_3 \\ \end{array} \right) = 0 \left\{ \begin{array}{c} -\xi_1 + \xi_2\xi + \xi_3 = 0 \\ 2\xi_1 - \xi_2\xi - \xi_3 = 0 \\ \end{array} \right.\left| \begin{array}{c} \xi_1 = \xi_2 + \xi_3 \\ 2\xi_1 = \xi_2 + \xi_3 \\ \end{array} \right.\quad \xi_1 = 0 \)
La primera coordenada ha de ser nula y las otras dos toman valores arbitrarios opuestos, por consiguiente, podemos tomar un vector propio de la forma
    \(\vec{\xi} = \left( \begin{array}{c} 0 \\ -1 \\ 1 \\ \end{array} \right) \)
En estas condiciones las soluciones del sistema se obtienen por
    \( \vec{X}^{(1)} = \vec{\xi}e^{rt}\;; \;\vec{X}^{(2)} = \vec{\xi}te^{rt}\;; \;\vec{X}^{(3)} = \vec{\xi}t^2e^{rt}+ \vec{\eta}te^{rt} + \vec{\upsilon}e^{rt} \)
Donde se verifica
    \((A- rI)\vec{\xi} = 0 \; ; \;(A- rI)\vec{\eta} =\vec{\xi}\; ; \;(A- rI)\vec{\upsilon} =\vec{\eta} \)
El vector \(\vec{\xi}\) ya lo conocemos, para los otros dos tenemos
    \( \left( \begin{array}{ccc} -1 & 1 & 1 \\ 2 & -1 & -1 \\ -3 & 2 & 2 \\ \end{array} \right)\left( \begin{array}{c} \eta_1 \\ \eta_2 \\ \eta_3 \\ \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} 0 \\ -1 \\ 1 \\ \end{array} \right)\left\{ \begin{array}{c} 2\eta_1 - \eta_2 - \eta_3 = -1 \\ -\eta_1 + \eta_2+ \eta_3 = 0 \\ \end{array} \right\}\)
    \( \displaystyle \quad \eta_1= -1 \;; \; \eta_2 = \eta_3 = \frac{1}{2} \)
    \(\displaystyle \left( \begin{array}{ccc} -1 & 1 & 1 \\ 2 & -1 & -1 \\ -3 & 2 & 2 \\ \end{array} \right)\left( \begin{array}{c} \upsilon_1 \\ \upsilon_2 \\ \upsilon_3 \\ \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} -1 \\ \frac{1}{2} \\ \frac{1}{2} \\ \end{array} \right)\left\{ \begin{array}{c} - \upsilon_1 +\upsilon_2 +\upsilon_3 = -1 \\ 2\upsilon_1 - \upsilon_2-\upsilon_3 = \frac{1}{2} \\ \end{array} \right\} \)
    \( \displaystyle \quad \upsilon_1=- \frac{1}{2} \;; \; \upsilon_2 = - \frac{3}{2}\;; \;\upsilon_3 = 0 \)
Así pues los dos vectores propios serán
    \( \displaystyle \vec{\eta} = \left( \begin{array}{c} -1 \\ \frac{1}{2} \\ \frac{1}{2} \\ \end{array} \right)\quad ; \quad \vec{\upsilon} = \left( \begin{array}{c} -\frac{1}{2} \\ - \frac{3}{2} \\ \quad 0 \\ \end{array} \right) \)
Y las soluciones vendrán dadas por
    \( \displaystyle \vec{X}{(1)}= \left( \begin{array}{c} 0 \\ -1 \\ 1 \\ \end{array} \right)e^{-2t}\quad ; \quad \vec{X}{(2)}= \left( \begin{array}{c} 0 \\ -1 \\ 1 \\ \end{array} \right)t·e^{-2t} + \left( \begin{array}{c} -1 \\ \frac{1}{2} \\ \frac{1}{2} \\ \end{array} \right)e^{-2t} \)
    \( \displaystyle \vec{X}{(3)}= \left( \begin{array}{c} 0 \\ -1 \\ 1 \\ \end{array} \right)t^2·e^{-2t}+ \left( \begin{array}{c} -1 \\ \frac{1}{2} \\ \frac{1}{2} \\ \end{array} \right)t·e^{-2t} + \left( \begin{array}{c} -\frac{1}{2} \\ -\frac{3}{2} \\ 0 \\ \end{array} \right)e^{-2t} \)
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tema escrito por: José Antonio Hervás