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ejercicios resueltos de ecuaciones diferenciales

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Ejercicios resueltos de Ecuaciones Diferenciales

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Ejercicios de ecuaciones diferenciales

Resolver el sistema de ecuaciones diferenciales:
    \(\begin{array}{c} x'_1 = x_1 + \sqrt{3}·x_2 \\ x'_2 = \sqrt{3}·x_1 - x_2 \end{array} \)
Respuesta al ejercicio 58

Escrito en forma matricial el sistema queda:
    \( \vec{X}' = \left( \begin{array}{cc} 1 & \sqrt{3} \\ \sqrt{3} & -1 \\ \end{array} \right)\vec{X} \)
Los valores propios de la matriz A son
    \( |A-rI| = 0 \; ; \; -(1-r)(1+r) - 3 = 0 \; ; \; r = \pm 2 \)
Según este resultado los vectores propios serán
    \(\begin{array}{c} \left( \begin{array}{cc} -1 & \sqrt{3} \\ \sqrt{3} & -3 \\ \end{array} \right)\left( \begin{array}{c} \xi_1^{1} \\ \xi_2^{1} \\ \end{array} \right) = 0 \, ; \, - \xi_1^{1} + \sqrt{3}\xi_2^{1} =0\, ; \, \vec{\xi}^{(1)}\left( \begin{array}{c} \sqrt{3} \\ 1 \\ \end{array} \right)\\\\ \left( \begin{array}{cc} 3 & \sqrt{3} \\ \sqrt{3} & 1 \\ \end{array} \right)\left( \begin{array}{c} \xi_1^{2} \\ \xi_2^{2} \\ \end{array} \right) = 0 \, ; \, 3 \xi_1^{2} + \sqrt{3}\xi_2^{2} =0\, ; \, \vec{\xi}^{(2)}\left( \begin{array}{c} 1 \\ -\sqrt{3} \\ \end{array} \right) \end{array} \)
Y la solución del sistema valdrá
    \( X = C_1\left( \begin{array}{c} \sqrt{3} \\ 1 \\ \end{array} \right)e^{-2t} + C_2\left( \begin{array}{c} 1 \\ - \sqrt{3} \\ \end{array} \right)\quad\left\{ \begin{array}{c} x_1 = C_1\sqrt{3}·e^{-2t}+ C_2·e^{2t} \\ x_2 = C_1·e^{-2t}+ C_2\sqrt{3}·e^{2t} \\ \end{array} \right. \)
Ejercicios resueltos - problemas resueltos - ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS
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tema escrito por: José Antonio Hervás