PROBLEMAS RESUELTOS DE MATEMÁTICAS
ejercicios resueltos de ecuaciones diferenciales ordinarias

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Ejercicios resueltos de Ecuaciones Diferenciales

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Ejercicios de ecuaciones diferenciales

Respuesta al ejercicio 57

Escribimos el sistema en forma matricial
    \(\vec{X}' = \left( \begin{array}{ccc} 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\ \end{array} \right) \vec{X} \)
Los valores propios de la matriz A se obtienen resolviendo la ecuación característica
    \(\begin{array}{l}
    |A-rI| = 0 \; ; \; -r^3 + 3r + 2 = 0 \\
     \\
    (r-2)(r+1)^2 = 0\; ; \; r_1 = 2 \; ; \; r_2 = 1(doble)
    \end{array} \)
Los vectores propios correspondientes serán. Para r = 2
    \( \left( \begin{array}{ccc} -2 & 1 & 1 \\ 1 & -2 & 1 \\ 1 & 1 & -2 \\ \end{array} \right) \left( \begin{array}{c} \xi_1^{(1)} \\ \xi_2^{(1)} \\ \xi_3^{(1)} \\ \end{array} \right) = 0\quad \left. \begin{array}{l} -2\xi_1^{(1)}+ \xi_2^{(1)} + \xi_3^{(1)} = 0 \\ \xi_1^{(1)}-2\xi_2^{(1)} + \xi_3^{(1)} = 0 \\ \xi_1^{(1)}+ \xi_2^{(1)} -2\xi_3^{(1)} = 0 \\ \end{array} \right\}\quad \vec{\xi}^{(1)} = \left( \begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ 1 \\ \end{array} \right) \)
Para r = 1
    \( \left( \begin{array}{ccc} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ \end{array} \right) \left( \begin{array}{c} \xi_1^{(2)} \\ \xi_2^{(2)} \\ \xi_3^{(2)} \\ \end{array} \right) = 0\quad \xi_1+ \xi_2 + \xi_3= 0\, ; \, \vec{\xi}^{(2)} = \left( \begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ -1 \\ \end{array} \right)\, ; \,\vec{\xi}^{(3)} = \left( \begin{array}{c} 1 \\ -2 \\ 1 \\ \end{array} \right) \)
Según estos resultados podemos formar las soluciones
    \( \begin{array}{l}
    \vec{X}^{1}= \vec{\xi}^{1}·e^{-2t}= \left( \begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ 1 \\ \end{array} \right)e^{-2t} \\
     \\
    \vec{X}^{2}= \vec{\xi}^{2}·e^t= \left( \begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ -1 \\ \end{array} \right)e^t\;; \;\vec{X}^{3}= \vec{\xi}^{3}·e^t= \left( \begin{array}{c} 1 \\ -2 \\ 1 \\ \end{array} \right)e^t
    \end{array}\)
Y cada variable vendrá dada por:
    \( \begin{array}{l} x_1 = C_1·e^{-2t}+ C_2·e^t + C_3·e^t \\ x_2 = C_1·e^{-2t}- 2·C_3·e^t \\ x_3 = C_1·e^{-2t}- C_2·e^t + C_3·e^t \end{array} \)
Ejercicios resueltos - problemas resueltos - ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS


tema escrito por: José Antonio Hervás