PROBLEMAS RESUELTOS DE MATEMÁTICAS
ejercicios resueltos de ecuaciones diferenciales ordinarias

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Ejercicios resueltos de Ecuaciones Diferenciales

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Ejercicios de ecuaciones diferenciales

Respuesta al ejercicio 56

Primero resolvemos el sistema homogéneo. Para ello calculamos los autovalores y una base de vectores propios para la matriz A
    \( |A-rI| = 0 \; ; \; -(2-r)(2+r) + 5 = 0 \; ; \;r^2 + 1 = 0 \; ; \; r = \pm i \)
Puesto que nos salen valores propios complejos solo determinamos un vector propio
    \( \begin{array}{l}
    \left( \begin{array}{cc} 2-i & -5 \\ 1 & -2-i \\ \end{array} \right)\left( \begin{array}{c} \xi_1^{1}\\ \xi_2^{1} \\ \end{array} \right) = 0 \\
     \\
    \xi_1^{1} - (2+i)\xi_2^{1} = 0\; ; \; \vec{\xi}^{1} = \left( \begin{array}{c} 2+i \\ 1 \\ \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} 2 \\ 1 \\ \end{array} \right)+ i\left( \begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ \end{array} \right)
    \end{array}\)
En estas condiciones las soluciones del sistema serán
    \( Y = \left( \begin{array}{c} 2+i \\ 1 \\ \end{array} \right)e^{it} = \left[\left( \begin{array}{c} 2 \\ 1 \\ \end{array} \right) + i\left( \begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ \end{array} \right) \right](\cos t + i·\sin t) = \)
    \( = \left( \begin{array}{c} 2 \\ 1 \\ \end{array} \right)\cos t -\left( \begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ \end{array} \right)\sin t + i\left[ \left( \begin{array}{c} 2 \\ 1 \\ \end{array} \right)\cos t -\left( \begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ \end{array} \right)\sin t\right] \)
Podemos poner entones
    \( y_1 = \left( \begin{array}{c} 2·\cos t - \sin t \\ \cos t \\ \end{array} \right)\; ; \;y_2 = \left( \begin{array}{c} \cos t + 2· \sin t \\ \sin t \\ \end{array} \right) \)
Con lo que la solución general será
    \( X = C_1 \left( \begin{array}{c} 2·\cos t - \sin t \\ \cos t \\ \end{array} \right) + C_2 \left( \begin{array}{c} \cos t + 2· \sin t \\ \sin t \\ \end{array} \right) = \Psi(t)· \vec{C} \)
Y cada una de las variables
    \( \begin{array}{l} x_1 = C_1(2·\cos t - \sin t) + C_2(\cos t + 2·\sin t) \\ x_2 = C_1· \cos t + C_2·\sin t \end{array} \)
Para obtener la solución general de la ecuación completa calculamos una solución particular por el método de variación de constantes. Poniendo la solución homogénea en la forma acostumbrada para estos casos tendremos, después de igualar coeficientes
    \(U'(t) = \Psi^{-1}(t)·G(t) = \left( \begin{array}{cc} -\sin t & \cos t+2·\sin t \\ \cos t & \sin t - 2·\cos t \\ \end{array} \right)\left( \begin{array}{c} -\cos t \\ \sin t \\ \end{array} \right) \)
De donde podemos sacar las ecuaciones
    \( \begin{array}{c} C'_1= 2·\cos t · \sin t + 2·\sin^2 t \\\\ C'_2 = - \cos 2t - \sin 2t \end{array} \)
Que integradas nos dan
    \( \displaystyle \begin{array}{l} C_1 = \int 2·\cos t · \sin t·dt +\int 2·\sin^2 t·dt = \sin^2 t + [t-\frac{1}{2}\sin 2t] \\\\ C_2 = -\int (\cos 2t - \sin 2t)dt = - \frac{1}{2}·\sin 2t + \frac{1}{2}·\cos 2t \end{array} \)
Sustituyendo estos resultados en la ecuación \(\Psi(t)·U(t)\) obtenemos
    \( \displaystyle \begin{array}{l} x_{p1}= t(2·\cos t - \sin t)- 2·\sin t - \sin t · \sin 2t + \frac{1}{2}\cos t \\ x_{p2}= t· \cos t - \frac{1}{2}\sin t \end{array} \)
La solución general de la ecuación completa vendrá dada sin más que sustituir los vales correspondientes en la ecuación
    \( \vec{X}_G = \vec{X}_h + \vec{X}_p \)
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tema escrito por: José Antonio Hervás