PROBLEMAS RESUELTOS DE MATEMÁTICAS
ejercicios resueltos de ecuaciones diferenciales ordinarias

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Ejercicios resueltos de Ecuaciones Diferenciales

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Ejercicios de ecuaciones diferenciales

Respuesta al ejercicio 54

El primer punto a desarrollar es la obtención de la solución homogénea. Como valores propios tenemos
    \( \begin{array}{l} |A- rI| = 0 \; ; \; -(2-r)(2+r) + 3 = 0 \; ; \\  \\ r^2 -1 = 0 \; ; \; r_1 = 1 \; ; \; r_2 = -1 \end{array}\)
Y los vectores propios correspondientes serán
    \( \begin{array}{c} \left( \begin{array}{cc} -1& 1 \\ 3 & -3 \\ \end{array} \right)\left( \begin{array}{c} \xi_1^{(1)} \\ \xi_2^{(1)} \\ \end{array} \right) = 0\; ; \; \xi_1^{(1)} - \xi_2^{(1)} = 0 \Rightarrow \xi^{(1)} = \left( \begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ \end{array} \right) \\\\ \left( \begin{array}{cc} 3& -1 \\ 3 & -1 \\ \end{array} \right)\left( \begin{array}{c} 3\xi_1^{(2)} \\ \xi_2^{(2)} \\ \end{array} \right) = 0\; ; \; 3 \xi_1^{(2)} - \xi_2^{(2)} = 0 \Rightarrow \xi^{(2)} = \left( \begin{array}{c} 1 \\ 3 \\ \end{array} \right) \end{array} \)
Con lo que la solución del sistema homogéneo vendrá dado por
    \( X_h = C_1\left( \begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ \end{array} \right)e^t + C_2\left( \begin{array}{c} 1 \\ 3 \\ \end{array} \right)e^{-t} = \left( \begin{array}{cc} e^t & e^{-t} \\ e^t & 3e^{-t} \\ \end{array} \right)\left( \begin{array}{c} C_1 \\ C_2\\ \end{array} \right) \)
Para obtener una solución particular de la completa hacemos
    \(\begin{array}{l} \vec{X} = \Psi(t)·\vec{C}(t)\; ; \; \vec{X}' = \Psi'(t)·\vec{C}(t)+\Psi(t)·\vec{C}'(t)= \\  \\ = A·\Psi(t)·C(t) + G(t) \end{array} \)
E identificando coeficientes
    \( \begin{array}{l}
    \Psi(t)·C'(t) = G(t) \;;\; C'(t) =\Psi^{-1}· G(t) \\
     \\
    \left( \begin{array}{c} C_1 \\ C_2 \\ \end{array} \right)' = \left( \begin{array}{cc} e^t & e^{-t} \\ e^t & 3e^{-t} \\ \end{array} \right)^{-1}\left( \begin{array}{c} e^t \\ e^{-t} \\ \end{array} \right)
    \end{array}\)
De donde resulta
    \( \displaystyle \begin{array}{l} \left( \begin{array}{c} C_1 \\ C_2 \\ \end{array} \right)' =\frac{1}{2} \left( \begin{array}{cc} 3e^{-t} & -e^{-t} \\ e^{-t} & e^t \\ \end{array} \right)\left( \begin{array}{c} e^t \\ e^{-t} \\ \end{array} \right) \\  \\ \begin{array}{l} C'_1 =\displaystyle \frac{3}{2}+ \frac{1}{2}= 2 \;; \; C_1 = 2t \\ C'_2 =\displaystyle - \frac{e^{2t}}{2} - \frac{e^{2t}}{2}=- e^{2t}\;; \;C_2 = -\frac{1}{2}e^{2t} \end{array} \end{array}\)
Con lo que la solución particular será
    \(X_p =\displaystyle \left( \begin{array}{cc} e^t & e^{-t} \\ e^t & 3e^{-t} \\ \end{array} \right)\left( \begin{array}{c} 2t \\ -\frac{1}{2}e^{2t} \\ \end{array} \right) = \left( \begin{array}{cc} 2t·e^t & -\frac{1}{2}e^{2t} \\ 2t·e^t & -\frac{3}{2}e^{2t} \\ \end{array} \right) \)
Y la solución general de la completa
    \( X =\displaystyle C_1\left( \begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ \end{array} \right)e^t + C_2\left( \begin{array}{c} 1 \\ 3 \\ \end{array} \right)e^{-t} + \left( \begin{array}{c} 2t - \frac{1}{2} \\ 2t -\frac{3}{2} \\ \end{array} \right)e^t \)
Con lo que resulta finalmente
    \( \displaystyle \begin{array}{l} X_1 = C_1·e^t + C_2·e^{-t}+ 2t·e^t - \frac{1}{2}e^t \\\\ X_2 = C_1·e^t + 3C_2·e^{-t}+ 2t·e^t - \frac{3}{2}e^t \end{array} \)
Ejercicios resueltos - problemas resueltos - ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS


tema escrito por: José Antonio Hervás