PROBLEMAS RESUELTOS DE MATEMÁTICAS
ejercicios resueltos de ecuaciones diferenciales ordinarias

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Ejercicios resueltos de Ecuaciones Diferenciales

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Ejercicios de ecuaciones diferenciales

Respuesta al ejercicio 53

En primer lugar resolvemos el sistema homogéneo. Para ello tenemos
    \(\begin{array}{l}
    |A-rI| = 0 \; ; \; (1-r)^2 - 4 = 0 \; ; \\
     \\
    r^2 - 2r - 3 = 0 \; ; \; r_1 = 3 \; ; \; r_2 = -1
    \end{array} \)
Los vectores propios que nos dan estos auvalores son
    \( \begin{array}{c} \left( \begin{array}{cc} -2 & 1 \\ 4 & -2 \\ \end{array} \right)\left( \begin{array}{c} \xi_1^{(1)} \\ \xi_2^{(1)} \\ \end{array} \right) = 0\; ; \; - 2 \xi_1^{(1)} + \xi_2^{(1)} = 0\Rightarrow \xi^{(1)} = \left( \begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ \end{array} \right) \\\\ \left( \begin{array}{cc} 2 & 1 \\ 4 & 2 \\ \end{array} \right)\left( \begin{array}{c} \xi_1^{(2)} \\ \xi_2^{(2)} \\ \end{array} \right) = 0\; ; \; 2 \xi_1^{(2)} + \xi_2^{(2)} = 0 \Rightarrow \xi^{(2)} = \left( \begin{array}{c} 1 \\ -2 \\ \end{array} \right) \end{array} \)
Según eso, la solución general de la homogénea será
    \( X^{(h)} = C_1\left( \begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ \end{array} \right)e^{3t} + C_2\left( \begin{array}{c} 1 \\ -2 \\ \end{array} \right)e^{-t} \)
Para calcular la solución particular de la completa ponemos
    \(X_p = \left( \begin{array}{c} a \\ b \\ \end{array} \right)e^t \)
Y sustituyendo en la ecuación inicial
    \( X' = A·X + C(t) \Rightarrow \left( \begin{array}{c} a \\ b \\ \end{array} \right)e^t = \left( \begin{array}{cc} 1 & 1 \\ 4 & 1\\ \end{array} \right)\left( \begin{array}{c} a \\ b \\ \end{array} \right)e^t + \left( \begin{array}{c} 2 \\ 1 \\ \end{array} \right)e^t \)
Dividiendo todos los términos por et y haciendo operaciones resulta
    \( \left( \begin{array}{c} a \\ b \\ \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} a+b \\ 4a+b \\ \end{array} \right) + \left( \begin{array}{c} 2 \\ 1 \\ \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} a+b+2 \\ 4a+b+1 \\ \end{array} \right)\quad ; \quad \begin{array}{c} a+b+2 = a \rightarrow b = -2 \\ 4a+b+1 = b \rightarrow a = - (1/4) \end{array} \)
Con lo que podemos poner
    \(X_p = - \frac{1}{4}\left( \begin{array}{c} 1 \\ 8 \\ \end{array} \right)e^t \)
Y a partir de ahí
    \( X = C_1\left( \begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ \end{array} \right)e^{3t}+ C_2\left( \begin{array}{c} 1 \\ -2 \\ \end{array} \right)e^t - \frac{1}{4}\left( \begin{array}{c} 1 \\ 8 \\ \end{array} \right)e^t \)
Ejercicios resueltos - problemas resueltos - ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS


tema escrito por: José Antonio Hervás