PROBLEMAS RESUELTOS DE MATEMÁTICAS
ejercicios resueltos de ecuaciones diferenciales ordinarias

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Ejercicios resueltos de Ecuaciones Diferenciales

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Ejercicios de ecuaciones diferenciales

Respuesta al ejercicio 50

Lo primero que haremos será resolver la ecuación diferencial homogénea:
    \( \displaystyle \begin{array}{l} mu\,^{\prime \prime} + cu\,^\prime + ku = 0 \quad ; \quad (mD^2 + cD + k)u = 0 \; ; \\  \\ r = \frac{-c \pm \sqrt{ c^2 - 4m\frac{}{}k}}{2m} \end{array} \)
Puesto que en el enunciado del ejercicio nos dicen que se cumple \(c^2 - 4mk < 0 \) las raices son imaginarias y podemos escribir:
    \( \displaystyle r = - \frac{c}{2m}\pm \imath \,\sqrt{\frac{k}{m} - \frac{c^2}{4m^2}} \quad ; \quad r = - \alpha \pm \imath \, w_o \)
Con lo que la solución general de la ecuación diferencial homogénea será:
    \(u_h = e^{- \alpha t }\left(C_1 \cos \omega_o t + C_2 \sin \omega_o t \right)\)
Para resolver la ecuación diferencial completa, aplicaremos el método de coeficientes indeterminados. De ese modo:
    \( u_p = A \sin \omega t + B \cos w t = M \sin (\omega t - \psi) \)

donde hemos puesto \(A = M \cos \psi \quad ; \quad B = - M \sin \psi \).

Derivando consecutivamente dos veces la anterior expresión tenemos:

    \( u\,^\prime = \omega M \cos (\omega t - \psi) \quad ; \quad u\,^{\prime \prime} = - \omega^2 M \sin (\omega t - \psi) \)
Y sustituyendo en la ecuación general:
    \(\begin{array}{l} - m\, \omega^2 M \sin (\omega t - \psi) + c\, \omega M \cos (\omega t - \psi) + \\  \\ + k\, M \sin (\omega t - \psi) = F_o \sin \omega t \end{array}\)
O, lo que es igual:
    \(M(- m\, \omega^2 + k) \sin (\omega t - \psi) + M c\, \omega \cos (\omega t - \psi) = F_o \sin \omega t\)
Expresión que también podemos poner en la forma:
    \(M(k - m\, \omega^2)( \sin \omega t · \cos \psi - \cos \omega t · \sin \psi) + \)

    \( + M c\, \omega( \cos \omega t · \cos \psi + \sin \omega t · \sin \psi)= F_o \sin \omega t\)
Si anulamos el coeficiente de \(\cos \omega t \) en el primer miembro, resulta:
    \(- M(- m\, \omega^2 + k) \sin \psi + M c\, \omega \cos \psi = 0\)
De donde podemos obtener:
    \(\displaystyle \frac{\sin \psi}{c \omega} = \frac{\cos \psi}{k - m \omega^2} \quad ; \quad \tan \psi = \frac{c \omega}{k - m \omega^2} \; ; \; \tan^2 \psi = \frac{c^2 \omega^2}{(k - m \omega^2)^2}\)
Y a partir de ahí:
    \(\displaystyle \frac{\sin \psi}{c \, \omega} = \frac{\cos \psi}{k - m \omega^2} = \frac{1}{\sqrt{c^2 \omega^2 + (k - m \omega^2)^2}} \)
Identificando ahora los términos en \( \sin \omega t \) nos queda:
    \( M(- m\, \omega^2 + k) \cos \psi + M c\, \omega \sin \psi = F_o\)
Pero teniendo en cuenta los resultados anteriores, podemos sustituir \( \sin \psi y \cos \psi \) por sus valores según las expresiones anteriores y escribir:
    \(\displaystyle M · \frac{c^2 \omega^2 + (k - m \omega^2)^2}{\sqrt{c^2 \omega^2 + (k - m \omega^2)^2}} = F_o \Rightarrow M = \frac{F_o}{\sqrt{c^2 \omega^2 + (k - m \omega^2)^2}} \)
Con lo que la solución particular buscada de la ecuación diferencial será:
    \(\displaystyle u_p = \frac{F_o}{\sqrt{c^2 \omega^2 + (k - m \omega^2)^2}} \, \sin (\omega t - \psi) \)
Por todo ello tendremos:
    \(\displaystyle \begin{array}{l} u(t) = e^{- \alpha t }\left(C_1 \cos \omega_o t + C_2 \sin \omega_o t \right) + \\  \\ + \frac{F_o}{\sqrt{c^2 \omega^2 + (k - m \omega^2)^2}} \, \sin (\omega t - \psi) \end{array}\)
Para determinar el valor de las constantes C1 y C2 tenemos en cuenta las condiciones límite dadas en el enunciado; de ese modo:
    \(\begin{array}{l} u(0) = C_1 = u_o \\ \\ u\,^\prime (0) = \displaystyle - \alpha C_1 + \omega_o C_2 +\\ \\ + \frac{\omega \, F_o}{\sqrt{c^2 \omega^2 + (k - m \omega^2)^2}} \, \sin ( - \psi) = 0\end{array} \)
De esta última expresión obtenemos:
    \(\displaystyle C_2 = \frac{\omega \, F_o}{\sqrt{c^2 \omega^2 + (k - m \omega^2)^2}} \, \sin \psi + \frac{\alpha}{\omega_o}u_o\)
Sustituyendo los valores de C1 y C2 obtenidos en la expresión que nos da la solución general, obtenemos la solución particular para las condiciones dadas
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tema escrito por: José Antonio Hervás