PROBLEMAS RESUELTOS DE MATEMÁTICAS
ejercicios resueltos de ecuaciones diferenciales ordinarias

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Ejercicios resueltos de Ecuaciones Diferenciales

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Ejercicios de ecuaciones diferenciales

Respuesta al ejercicio 49

Si en la ecuación diferencial del enunciado hacemos el cambio de variable \(y\,^{\prime \prime} = z \), tenemos:
    \( (1+x^2)y\,^{\prime \prime \prime} + (y\,^{\prime \prime})^2 +1 = 0 \rightarrow (1+x^2)z\,^\prime + z^2 + 1 = 0\)
Y la ecuación se puede resolver por variables separadas:
    \( \displaystyle \begin{array}{l} \int \frac{dz}{z^2 + 1} + \int \frac{dx}{x^2 + 1} = K \Rightarrow \\\\ \arctan z + \arctan x = \arctan C \Rightarrow \\ \\ \Rightarrow \arctan z = \arctan C - \arctan x \end{array}\)
Tomando tangentes resulta:
    \( \displaystyle \begin{array}{l}
    \tan(\arctan z) = \tan(\arctan C - \arctan x) = \\
     \\
    = \frac{\tan(\arctan C) - \tan(\arctan x)}{1 + \tan(\arctan C)· \tan(\arctan x)}
    \end{array}\)
O lo que es igual:
    \( \displaystyle z = \frac{C - x}{1+Cx}\)
Deshaciendo el cambio realizado al principio:
    \( \displaystyle y\,^{\prime \prime} = \frac{C - x}{1+Cx} \rightarrow y\,^\prime = \int \frac{C - x}{1+Cx}dx + C_2 \)
La integral se resuelve como sigue:
    \( \displaystyle \begin{array}{l}
    \int \frac{C - x}{1+Cx}dx = \int \frac{C}{1+Cx}dx - \int \frac{x}{1+Cx}dx = \\
     \\
    = \ln(1+Cx) - \int \frac{x}{1+Cx}dx
    \end{array}\)
Y para esta última integral tenemos:
    \( \displaystyle \int \frac{x}{1+Cx}dx = \int \frac{dx}{C} - \int \frac{dx}{C(1+Cx)} = \frac{x}{C} - \frac{\ln(1+Cx)}{C^2} \)
Con lo que resulta:
    \( \displaystyle\begin{array}{l}
    y\,^prime = \ln(1 + Cx) + \frac{\ln(1+Cx)}{C^2} - \frac{x}{C} + C_2 = \\
     \\
    = \frac{1+C^2}{C^2}\ln(1+Cx)- \frac{x}{C} + C_2
    \end{array} \)
Para resolver totalmente el problema nos queda una última integración:
    \( \displaystyle y = \frac{1+C^2}{C^2} \int \ln(1+Cx)dx - \frac{x^2}{2C} + C_2x +C_3\)

    \( \displaystyle \frac{1+C^2}{C^3}\left[(1-Cx)\ln(1+Cx) - Cx\right] - \frac{x^2}{2C} + C_2x +C_3\)
Ejercicios resueltos - problemas resueltos - ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS


tema escrito por: José Antonio Hervás