PROBLEMAS RESUELTOS DE MATEMÁTICAS
ejercicios resueltos de ecuaciones diferenciales ordinarias

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Ejercicios resueltos de Ecuaciones Diferenciales

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Ejercicios de ecuaciones diferenciales

Respuesta al ejercicio 48

La ecuación escrita en el enunciado puede ser reducida a una de primer orden haciendo el cambio \( y\,^\prime = z \). De ese modo se tiene:
    \( x\, y\, ^{\prime \prime} - y^\prime = 3x^2 \Rightarrow x z\,^\prime - z = 3 x^2 \)
Esta es una ecuación diferencial lineal pero no es ecuación diferencial exacta, por lo que tenemos que buscar un factor integrante. Tenemos:
    \( \displaystyle \mu(x) = \frac{1}{x}\exp\int - \frac{1}{x}dx = \frac{1}{x}\exp (- \ln x) = \frac{1}{x}\exp \left(\ln \frac{1}{x}\right)= \frac{1}{x^2} \)
Y a partir de ahí:
    \( \displaystyle z(x) = \frac{1}{\mu P_o}\int \mu R(x) dx + \frac{C}{\mu P_o} = x \int 3 dx + Cx = 3x^2 + Cx \)
Y deshaciendo el cambio:
    \( \displaystyle\begin{array}{l} z = y\,^\prime = 3x^2 + Cx \rightarrow \int dy = \int (3x^2 + Cx)dx + K \; ; \\  \\ y = x^3 + \frac{1}{2}C x^2 + K \end{array} \)
Ejercicios resueltos - problemas resueltos - ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS


tema escrito por: José Antonio Hervás