PROBLEMAS RESUELTOS DE MATEMÁTICAS
ejercicios resueltos de ecuaciones diferenciales ordinarias

Ver enunciado del ejercicio en:

Ejercicios resueltos de Ecuaciones Diferenciales

Estás en : Matemáticas y Poesía > Problemas y ejercicios resueltos

 

Ejercicios de ecuaciones diferenciales

Respuesta al ejercicio 47

En primer lugar resolvemos la ecuación diferencial homogénea::
    \( y^{\prime \prime} + y = 0 \; ; \; r = \pm \imath \; \rightarrow \; y_h = C_1 \cos t + C_2 \sin t \)
Para encontrar una solución particular de la completa usaremos el método de variación de constantes:
    \(\begin{array}{l} y_p = C_1(t) \cos t + C_2(t) \sin t \\ \\ y\, ^\prime = C_1^\prime \cos t - C_1 \sin t + C_2 ^\prime \sin t + C_2 \cos t \; ; \; C_1^\prime \cos t + C_2 ^\prime \sin t = 0 \\ \\ y\,^{\prime \prime} = - C_1^\prime \sin t - C_1 \cos t + C_2 ^\prime \cos t - C_2 \sin t \; ; \; C_1^\prime \sin t + C_2 ^\prime \cos t = g(t) \end{array} \)
A partir del sistema anterior obtenemos los valores:
    \( \displaystyle C_1\,^\prime (t) = \frac {\begin{vmatrix} 0 & \sin t \\ \\g(t) & cos t\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix} \cos t & \sin t \\ \\- \sin t & \cos t\end{vmatrix}} = - g(t) \sin t \; ; \; C_2\,^\prime (t) = g(t) \cos t\)
Que nos dan como soluciones:
    \(\displaystyle C_1(t) = - \int _\alpha ^t g(s) \sin s ds \quad ; \quad C_2(t) = \int _\beta ^t g(s) \cos s ds \)
Y sustituyendo en la ecuación general:
    \(\begin{array}{l} y_G = y_h + y_p = \\ \\ \displaystyle C_1 \cos t + C_2 \sin t - \cos t \int _\alpha ^t g(s) \sin s ds + \sin t \int _\beta ^t g(s) \cos s ds = \\ \\ \displaystyle = \left(C_1 - \int_\alpha ^t g(s)\sin s ds\right)\cos t + \left(C_2 + \int_\beta ^t g(s)\cos s ds\right)\sin t \end{array} \)
Teniendo en cuenta ahora las condiciones \(y(0) = 0 \; ; \; y\,^\prime (0) = 0 \) nos queda :
    \(\begin{array}{l} y(0) = \displaystyle \cos 0 \left(C_1 - \int_\alpha ^0 g(s)\sin s ds\right) + \sin 0 \left(C_2 + \int_\beta ^0 g(s)\cos s ds\right) = 0\\ \\ y\, ^\prime (0) = - \displaystyle \sin 0 \left(C_1 - \int_\alpha ^0 g(s)\sin s ds\right) + \cos 0 \left(C_2 + \int_\beta ^0 g(s)\cos s ds\right) = 0 \end{array} \)
Y siendo sin 0 = 0, obtenemos para las constantes C1 y C2 los valores:
    \( \displaystyle C_1 = \int_\alpha ^0 g(s)\sin s ds \quad ; \quad C_2 = - \int_\beta ^0 g(s)\cos s ds \)
Sustituyendo estos valores en la solución general, resulta:
    \(\begin{array}{l} \displaystyle = \cos t \left(\int_\alpha ^0 g(s)\sin s ds - \int_\alpha ^t g(s)\sin s ds\right) + \sin t \left(- \int_\beta ^0 g(s)\cos s ds + \right. \\ \displaystyle \left. + \int_\beta ^t g(s)\cos s ds\right) = \cos t \left( - \int_0^t g(s)\sin s ds\right) + \sin t \left(\int_0^t g(s)\cos s ds\right) \end{array} \)
Podemos resumir este resultado observando que las dos integrales resultantes tienen los mismos límites de integración y teniendo en cuenta que la variable t no está afectada por la integral, es decir:
    \(\displaystyle \begin{array}{l}
    y = \int_0^t g(s) [\sin t · \cos s - \cos t · \sin s]ds = \\
     \\
    = \int_0^t g(s)· \sin (t-s)ds = g(t) \ast \sin t
    \end{array}\)
Donde la última expresión es, por definición, el producto de convolución:
    \(g(t) \ast \sin t \equiv \displaystyle \int_0^t g(s) \sin (t-s)ds \)
A estos resultados podríamos haber llegado por medio de la función de Green y pueden generalizarse para ecuaciones de orden n
Ejercicios resueltos - problemas resueltos - ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS


tema escrito por: José Antonio Hervás