PROBLEMAS RESUELTOS DE MATEMÁTICAS
ejercicios resueltos de ecuaciones diferenciales ordinarias

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Ejercicios resueltos de Ecuaciones Diferenciales

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Ejercicios de ecuaciones diferenciales

Respuesta al ejercicio 46

Si las funciones u y v son soluciones linealmente independientes de una ecuación lineal de segundo orden, se tendrá:
    \( W(u, v) = u v^\prime - v u^\prime \neq 0\)
Consideremos que la función u se anula en la parte extrema del intervalo [a, b], es decir:
    \( u(a) = u(b) = 0 \)
Para demostrar lo dicho en el enunciado vamos a admitir que se tiene:
    \( v(x) \neq 0 \quad , \quad \forall x \in [a, b] \qquad (*) \)
En esas condiciones podemos decir que la función \( f = u/v \) se anula en los puntos extremos del intervalo [a, b], es decir:
    \( f(a) = f(b) = 0 \)

pero no se anula en ningún otro punto de dicho intervalo.

Consideremos entonces el bronsquiano de u y v y dividámoslo por v2

    \( \displaystyle W(u, v) = u v^\prime - v u^\prime \Rightarrow \frac{u v^\prime - v u^\prime}{v^2} = f\,^\prime (u/v) \neq 0 \forall x \in [a, b] \)
Esto es así por la hipótesis planteada en (*), pero si f es una función continua en el intervalo cerrado [a, b] que tiene derivada finita en ese intervalo y se anula en sus extremos, el teorema de Rolle establece que en dichos extremos existe al menos un punto c que cumple:
    \( f\,^\prime (c) = 0 \qquad (a < c < b)\)

Lo cual está en contradicción con la hipótesis establecida de que \( \forall x \in [a, b] \) se tiene \(v(x) \neq 0 \) . Por consiguiente, la función v se ha de anular en algún punto, c, del intervalo [a, b].

Para demostrar que en nuestro caso dicho punto es único, suponemos en principio que hay varios, por ejemplo, 2. Si desarrollamos para dichos puntos las consideraciones expuestas para demostrar la primera parte del problema, encontraríamos que entre dos ceros consecutivos de v habría algún cero de u, pero como, por hipótesis, los dos ceros de u eran consecutivos, entre ellos no habrá ningún otro cero y ello nos lleva a la conclusión de que el cero de v entre ellos es único.

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Problemas resueltos - ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS


tema escrito por: José Antonio Hervás