PROBLEMAS RESUELTOS DE MATEMÁTICAS
ejercicios resueltos de ecuaciones diferenciales ordinarias

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Ejercicios resueltos de Ecuaciones Diferenciales

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Ejercicios de ecuaciones diferenciales

Respuesta al ejercicio 45

Para demostrar que (u+v) y (u-v) son soluciones de una ecuación lineal de segundo orden, consideramos las propiedades de linealidad del operador L:
    \( \hat{L}(y_1) = \hat{L}(u + v) = \hat{L}(u) + \hat{L}(v) = 0+0 = 0 \)

    \( \hat{L}(y_2) = \hat{L}(u - v) = \hat{L}(u) + \hat{L}(v) = 0-0 = 0 \)
Para demostrar que \(y_1\) e \(y_2\) son linealmente independientes consideramos su bronsquiano:
    \(W(y_1, y_2) =\begin{vmatrix} u+v& u-v \\ \\u\,^\prime + v\,^\prime & u\,^\prime - v\,^\prime \end{vmatrix} =\)

    \(= (u+v)(u\,^\prime - v\,^\prime) - (u-v)(u\,^\prime + v\,^\prime) = - 2 W(u, v)\)
Y puesto que u y v son linealmente independientes, por hipótesis, su bronsquiano, W(u, v) = uv' - vu', será distinto de cero, lo que implica que también lo sea el de \(y_1\) e \(y_2\).
Ejercicios resueltos - problemas resueltos - ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS


tema escrito por: José Antonio Hervás