Ejercicios de ecuaciones diferenciales

Demostrar que si u y v son soluciones linealmente independientes de una ecuación diferencial lineal de segundo orden, entonces:

\( y_1 = u+v \qquad ; \qquad y_2 = u-v \)

Son también un conjunto fundamental de soluciones

Respuesta al ejercicio 45

Para demostrar que (u+v) y (u-v) son soluciones de una ecuación lineal de segundo orden, consideramos las propiedades de linealidad del operador L:

\( \hat{L}(y_1) = \hat{L}(u + v) = \hat{L}(u) + \hat{L}(v) = 0+0 = 0 \)

\( \hat{L}(y_2) = \hat{L}(u - v) = \hat{L}(u) + \hat{L}(v) = 0-0 = 0 \)

Para demostrar que \(y_1\) e \(y_2\) son linealmente independientes consideramos su bronsquiano:

\(W(y_1, y_2) =\begin{vmatrix} u+v& u-v \\ \\u\,^\prime + v\,^\prime & u\,^\prime - v\,^\prime \end{vmatrix} =\)

\(= (u+v)(u\,^\prime - v\,^\prime) - (u-v)(u\,^\prime + v\,^\prime) = - 2 W(u, v)\)

Y puesto que u y v son linealmente independientes, por hipótesis, su bronsquiano, W(u, v) = uv' - vu', será distinto de cero, lo que implica que también lo sea el de \(y_1\) e \(y_2\).