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ejercicios resueltos de ecuaciones diferenciales

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Ejercicios resueltos de Ecuaciones Diferenciales

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Ejercicios de ecuaciones diferenciales

Comprobar que las funciones \(x, x^2 \) son linealmente independientes pero que su bronsquiano, \( W(x, x^2) \) es nulo en x = 0. Según eso, ¿pueden ser solución de una ecuación diferencial de segundo orden?.

Respuesta al ejercicio 43

Para demostrar que las funciones \(x, x^2 \) son linealmente independientes establecemos la relación:
    \( C_1x + c_2 x^2 = 0 \qquad (A) \quad \) siendo C1 y C2 constantes
Derivando la anterior expresión respecto a la variable x resulta:
    \( C_1 + 2C_2x = 0 \qquad (B) \)
Resolviendo respecto de el sistema formado por las ecuaciones (A) y (B) obtenemos:
    \(\begin{array}{l} C_1x + c_2 x^2 = 0 \\ \\ C_1 + 2C_2x = 0\end{array} \rightarrow \begin{vmatrix} x & x^2 \\ 1& 2x \end{vmatrix} = x^2 \neq 0 \; , \; \forall x \neq 0\)
Por este resultado podemos ver que el bronsquiano de las anteriores funciones se anula en el punto x = 0, ya que se tiene:
    \( W(x, x^2) = x^2\)
En esas condiciones, el conjunto \((x, x^2) \) podrá ser un sistema fundamental de soluciones para una ecuación lineal de segundo orden, en un intervalo que no contenga al punto cero.
Ejercicios resueltos - problemas resueltos - ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS
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tema escrito por: José Antonio Hervás