Ejercicios de ecuaciones diferenciales

Comprobar que las funciones \(x, x^2 \) son linealmente independientes pero que su bronsquiano, \( W(x, x^2) \) es nulo en x = 0. Según eso, ¿pueden ser solución de una ecuación diferencial de segundo orden?.

Respuesta al ejercicio 43

Para demostrar que las funciones \(x, x^2 \) son linealmente independientes establecemos la relación:

\( C_1x + c_2 x^2 = 0 \qquad (A) \quad \) siendo C₁ y C₂ constantes

Derivando la anterior expresión respecto a la variable x resulta:

\( C_1 + 2C_2·x = 0 \qquad (B) \)

Resolviendo respecto de el sistema formado por las ecuaciones (A) y (B) obtenemos:

\(\begin{array}{l} C_1x + c_2 x^2 = 0 \\ \\ C_1 + 2C_2·x = 0\end{array} \rightarrow \begin{vmatrix} x & x^2 \\ 1& 2x \end{vmatrix} = x^2 \neq 0 \; , \; \forall x \neq 0\)

Por este resultado podemos ver que el bronsquiano de las anteriores funciones se anula en el punto x = 0, ya que se tiene:

\( W(x, x^2) = x^2\)

En esas condiciones, el conjunto \((x, x^2) \) podrá ser un sistema fundamental de soluciones para una ecuación lineal de segundo orden, en un intervalo que no contenga al punto cero.