PROBLEMAS RESUELTOS DE MATEMÁTICAS
ejercicios resueltos de ecuaciones diferenciales ordinarias

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Ejercicios resueltos de Ecuaciones Diferenciales

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Ejercicios de ecuaciones diferenciales

Respuesta al ejercicio 42

Para la ecuación diferencial dada, la solución de la homogénea asociada se obtiene de:
    \( y^{\prime \prime} + 4y = 0 \; ; \; (D^2 + 4)y = 0 \; ; \; r^2 + 4 = 0 \; ; \; r = \pm 2 \imath \)
Con lo que podemos poner:
    \( y_h = C_1 \cos 2x + C_2 \sin 2x \)
Para obtener una solución particular de la ecuación diferencial completa, aplicamos el método de los coeficientes indeterminados. Tenemos:
    \( y_p = ( A\cos 2x + B\sin 2x)x + C\cos 2x + D\sin 2x + E x^2 + F x + G \)
El motivo de haber multiplicado por x el primer término es que los sumandos de dicho término se han obtenido en la solución homogénea. Derivando dos veces la anterior expresión, nos queda:
    \(\begin{array}{l} y\,^\prime = (A \cos 2x + B \sin 2x) + (- 2A \sin 2x + 2B \cos 2x)x -\\ \\ - C \sin x + D \cos x + 2Ex + F \\ \\ y\,^{\prime \prime} = - 2A \sin 2x + 2B \cos 2x + (- 4A \cos 2x - 4B \sin 2x)x -\\ \\ - 2A \sin 2x + 2B \cos 2x - C \cos x - D \sin x + 2E\end{array} \)
Y sustituyendo en la ecuación inicial, después de reagrupar términos, obtenemos:
    \(\begin{array}{l} (- 2A - 2A) \sin 2x + (2B + 2B) \cos 2x + \\ \\ (- 4B + 4B)x \sin 2x + (- 4A + 4A)x \cos 2x +\\ \\ + (- D + 4D) \sin x + (-C + 4C) \cos x + 4Ex^2 + 4Fx +\\ \\ + 4G + 2E = 4 \cos 2x + 6 \cos x + 8x^2 - 4x \end{array} \)
E identificando coeficientes:
    \(\begin{array}{l} - 4A = 0 \; ; \; 4B = 4 \; ; \; 3D = 0 \; ; \; 3C = 6 \; ; \\  \\ 4E = 8 \; ; \; 4F = -4 \; ; \; 4G - 2E = 0 \end{array} \)

Con lo que resulta para los coeficientes:

    \( \begin{array}{l} A = 0 \; ; \; B = 1 \; ; \; D = 0 \; ; \; C = 2 \; ; \\  \\ E = 2 \; ; \; E = 2 \; ; \; F = -1 \; ; \; G = 1 \end{array}\)

Y la solución general de la ecuación diferencial completa es:

    \( y = C_1 \cos 2x + C_2 \sin 2x + x \sin 2x + 2 \cos x + 2x^2 - x + 1 \)
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tema escrito por: José Antonio Hervás