PROBLEMAS RESUELTOS DE MATEMÁTICAS
ejercicios resueltos de ecuaciones diferenciales ordinarias

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Ejercicios resueltos de Ecuaciones Diferenciales

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Ejercicios de ecuaciones diferenciales

Respuesta al ejercicio 41

Como paso inicial para la resolución de la ecuación diferencial completa, resolvemos la ecuación diferencial homogénea correspondiente::
    \( y\,^{\prime \prime} - 2y\,^\prime = 0 \; ; \; (D^2 - 2D)y = 0 \; ; \; r^2 - 2r = 0 \; ; \; r_1 = 0 \; ; \; r_2 = 2 \)
Por lo que tendremos:
    \( y_h = C_1 + C_2e^{2x} \)
Para calcular una solución particular de la ecuación diferencial completa, en esta ocasión vamos a aplicar el método de variación de constantes:
    \(\begin{array}{l} y = C_1(x) + C_2(x) e^{2x} \\ \\ y\,^\prime = C_1^{\,\prime}(x) + C_2^{\,\prime}(x) e^{2x} + 2 C_2e^{2x} \Rightarrow C_1^{\,\prime}(x) + C_2^{\,\prime}(x) e^{2x} = 0 \quad (1) \\ \\ y\,^{\prime \prime} = 2 C_2^{\,\prime}(x) e^{2x} + 4 C_2e^{2x} \Rightarrow 2 C_2^{\,\prime}(x) e^{2x} = 12 x - 10 \quad (2) \end{array} \)
De la ecuación (2) despejamos el valor de \( C_2^{\,\prime} \):
    \( \displaystyle C_2^{\,\prime} = \frac{6x - 5}{e{2x}} = (6x-5)e^{-2x} \quad ; \quad C_2 = \int 6x e^{-2x}dx - \int 5 e^{-2x}dx \)
Pero teniendo en cuenta que se cumple:
    \(\displaystyle \frac{d}{dx}\left(- 3x e^{-2x}\right) = 3 e{-2x} + 6x e{-2x} \)
Nos queda:
    \( \displaystyle C_2 = \displaystyle d\left(- 3x e^{-2x}\right) - \int 2e^{-2x}dx = - 3x e^{-2x} + e^{-2x} \)

para obtener C1 multiplicamos la ecuación (1) por 2 y le restamos la ecuación (2), con lo que obtenemos:

    \( 2 C_1^{\, \prime} = 12 x + 10 \; ; \; C_1^{\, \prime} = 6 x + 5 \; ; \; C_1 = - 3x^2 + 5x \)

Sustituyendo los valores encontrados en la solución, obtenemos:

    \( y_p = (- 3x^2 + 5x) + (- 3x e^{-2x} + e^{-2x})e^{2x} = - 3x^2 + 2x + 1 \)

Y la solución general será:

    \( y = C_1 + C_2e^{2x} - 3x^2 + 2x + 1 \)
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tema escrito por: José Antonio Hervás