PROBLEMAS RESUELTOS DE MATEMÁTICAS
ejercicios resueltos de ecuaciones diferenciales ordinarias

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Ejercicios resueltos de Ecuaciones Diferenciales

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Ejercicios de ecuaciones diferenciales

Respuesta al ejercicio 40

Tenemos una ecuación diferencial completa de coeficientes constantes, por lo que lo primero que vamos a hacer es resolver la ecuación homogénea correspondiente:
    \( \begin{array}{l} y^{\prime \prime} - 3y^\prime + 2y = 0 \; ; \; (D^2 - 3D + 2)y = 0 \; ; \\  \\ r^2 - 3r + 2 = 0 \; ; \; r_1 = 2 \; ; \; r_2 = 1 \end{array}\)
Por consiguiente, la solución de la ecuación diferencial homogénea será:
    \( y_h = C_1e^{2x} + C_2e^x \)
Para calcular una solución particular de la ecuación diferencial completa, vamos a aplicar en este caso el método de los coeficientes indeterminados. Según eso, tenemos:
    \( y_p = A\sin 2x + B\cos 2x \)
Y derivando dos veces:
    \( y^\prime = 2A\cos 2x - 2B\sin 2x \; ; \; y^{\prime \prime} = - 4A\sin 2x - 4B\cos 2x \)
Sustituyendo en la ecuación inicial y reagrupando términos:
    \(\begin{array}{l} (- 4A + 6B + 2A)\sin 2x + (-4B - 6A + 2B)\cos 2x = \\  \\ = 14\sin 2x - 18\cos 2x \end{array} \)
Expresión de la que podemos obtener un sistema de dos ecuaciones lineales con dos variables, cuya solución es: A = 2 ; B = 3. De ese modo, la solución general de la ecuación diferencial completa es:
    \( \displaystyle y_G = y_h + y_p = C_1e^{2x} + C_2e^x + 2\sin 2x + 3\cos 2x \)
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tema escrito por: José Antonio Hervás