Ejercicios de ecuaciones diferenciales - Respuesta 40

Tenemos una ecuación diferencial completa de coeficientes constantes, por lo que lo primero que vamos a hacer es resolver la ecuación homogénea correspondiente:

\( y^{\prime \prime} - 3y^\prime + 2y = 0 \; ; \; (D^2 - 3D + 2)y = 0 \; ; \; r^2 - 3r + 2 = 0 \; ; \; r_1 = 2 \; ; \; r_2 = 1 \)

Por consiguiente, la solución de la ecuación diferencial homogénea será:

\( y_h = C_1··e^{2x} + C_2·e^x \)

Para calcular una solución particular de la ecuación diferencial completa, vamos a aplicar en este caso el método de los coeficientes indeterminados. Según eso, tenemos:

\( y_P = A·\sin 2x + B·\cos 2x \)

Y derivando dos veces:

\( y^\prime = 2A·\cos 2x - 2B·\sin 2x \; ; \; y^{\prime \prime} = - 4A·\sin 2x - 4B·\cos 2x \)

Sustituyendo en la ecuación inicial y reagrupando términos:

\((- 4A + 6B + 2A)·\sin 2x + (-4B - 6A + 2B)·\cos 2x = 14·\sin 2x - 18·\cos 2x \)

Expresión de la que podemos obtener un sistema de dos ecuaciones lineales con dos variables, cuya solución es: A = 2 ; B = 3. De ese modo, la solución general de la ecuación diferencial completa es:

\( \displaystyle y_G = y_h + y_p = C_1·e^{2x} + C_2·e^x + 2·\sin 2x + 3·\cos 2x \)