PROBLEMAS RESUELTOS DE MATEMÁTICAS
ejercicios resueltos de ecuaciones diferenciales ordinarias

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Ejercicios resueltos de Ecuaciones Diferenciales

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Ejercicios de ecuaciones diferenciales

Respuesta al ejercicio 39

Tenemos una ecuación diferencial de segundo orden en la que faltan las variables x e y; por lo tanto, podemos hacer el cambio y' = p para obtener:
    \( \displaystyle \begin{array}{l} (1+p^2)^{3/2} = kp' \rightarrow \frac{kdp}{(1+p^2)^{3/2}} = dx \rightarrow \\  \\ \rightarrow x = \frac{kp}{(1+p^2)^{1/2}} + C_1 \end{array} \)
Podemos considerar ahora:
    \( \displaystyle \begin{array}{l}
    dy = p·dx = p·\frac{dp}{f(p)} \rightarrow \\
     \\
    \rightarrow y = \int \frac{k·dp}{(1+p^2)^{3/2}} + C_2 = \frac{k}{2(1+p^2)^{1/2}} + C_2
    \end{array}\)
De estas dos ecuaciones paramétricas, podemos tomar una de la forma:
    \( \left. \begin{array}{c} \displaystyle (x-C_1)^2 = \frac{k^2p^2}{1+p^2} \\ \\ \displaystyle (y-C_2)^2 = \frac{k^2}{4(1+p^2)} \end{array}\right\} (x-C_1)^2 + 4(y-C_2)^2 = k^2 \)
Y el problema queda resuelto.
Ejercicios resueltos - problemas resueltos - ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS


tema escrito por: José Antonio Hervás