PROBLEMAS RESUELTOS DE MATEMÁTICAS
ejercicios resueltos de ecuaciones diferenciales ordinarias

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Ejercicios resueltos de Ecuaciones Diferenciales

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Ejercicios de ecuaciones diferenciales

Respuesta al ejercicio 38

En primer lugar resolvemos la ecuación homogénea correspondiente:
    \( y^{\prime \prime} - 2y^\prime = 0 \; ; \; (D^2 + 2D)y = 0 \; ; \; r^2 - 2r = 0 \; ; \; r_1 = 0 \; ; \; r_2 = 2 \)
Con lo que la solución de la ecuación diferencial homogénea es:
    \( y_h = C_1 + C_2e^{2x} \)
Para obtener la solución particular de la ecuación general, aplicamos el método de variación de constantes. Según eso, tenemos:
    \( y_p = C_1(x) + C_2(x)e^{2x} \)
Derivando una vez resulta:
    \( y^\prime = C'_1(x) + C'_2(x)e^{2x} + 2C_2(x)e^{2x} \)
De donde podemos tomar:
    \( C'_1(x) + C'_2(x)e^{2x} = 0\)
Y nos queda:
    \( y^\prime = 2C_2(x)e^{2x} \rightarrow y^{\prime \prime} = 2C'_2(x)e^{2x} + 4C_2(x)e^{2x} \)
Con lo que podemos hacer:
    \( 2C'_2(x)e^{2x} = e^x\sin x \)
Y a partir de ahí formar el sistema:
    \( \begin{array}{l} C'_1(x) + C'_2(x)e^{2x} = 0 \\ \\ 2C'_2(x)e^{2x} = e^x\sin x \end{array} \)
En este caso podemos obtener directamente el valor de \( C'_2 \) , es decir:
    \( \displaystyle C'_2(x) = \frac{1}{2}e^{-x}\sin x \rightarrow C_2(x) = \int \frac{1}{2}e^{-x}\sin x dx \)
Para obtener la integral resultante, hacemos:
    \( \begin{array}{l} d(e^{-x}\sin x) = - e^{-x}\sin x dx + e^{-x}.\cos x dx \\ \\ d(e^{-x}\cos x) = - e^{-x}\cos x dx - e^{-x}.\sin x dx \end{array} \)
Con lo que sumando las dos ecuaciones, es fácil obtener:
    \( \displaystyle \int \frac{1}{2}e^{-x}\sin x dx = - \frac{1}{4}e^{-x}(\sin x + \cos x) = C_2(x) \)
Y a partir de ahí, sustituyendo el valor de \( C'_2 \) en la primera ecuación del sistema:
    \( \displaystyle \begin{array}{l} C'_1(x) = - C'_2(x)e^{2x} = - \left(\frac{1}{2}e^{-x}\sin x \right)e^{2x} \rightarrow \\  \\ \Rightarrow C_1(x) = - \int \frac{1}{2}e^x\sin x dx \end{array}\)
Para obtener esta integral, lo hacemos de forma análoga al caso anterior, con lo que resulta:
    \( 2e^x \sin x dx = d(e^x \sin x) - d(e^x \cos x) \)
Y, a partir de ahí:
    \( \displaystyle \int - \frac{1}{2}e^x\sin x dx = - \frac{1}{4}e^x(\sin x - \cos x) = C_1(x) \)
Con lo que la solución particular de la ecuación dada será:
    \( \displaystyle \begin{array}{l}
    y_p = - \frac{1}{4}e^x(\sin x - \cos x) - \frac{1}{4}e^{-x}(\sin x + \cos x)·e^{2x} = \\
     \\
    = - \frac{1}{2}·e^x ·\sin x
    \end{array}\)
Y la solución general de la ecuación diferencial completa vendrá dada por:
    \( \displaystyle y_G = y_h + y_p = C_1 + C_2e^{2x} - \frac{1}{2}e^x \sin x \)
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tema escrito por: José Antonio Hervás