PROBLEMAS RESUELTOS DE MATEMÁTICAS
ejercicios resueltos de ecuaciones diferenciales ordinarias

Ver enunciado del ejercicio en:

Ejercicios resueltos de Ecuaciones Diferenciales

Estás en : Matemáticas y Poesía > Problemas y ejercicios resueltos

 

Ejercicios de ecuaciones diferenciales

Respuesta al ejercicio 35

En primer lugar resolvemos la ecuación homogénea correspondiente:
    \( y^{\prime \prime} + 9y = 0 \; ; \; (D^2 + 9)y = 0 \; ; \; r^2 + 9 = 0 \; ; \; r = \pm 3i \)
De ese modo tenemos:
    \( y_h = C_1\cos 3x + C_2\sin 3x \)
Para obtener la solución particular de la ecuación general, aplicamos el método de los coeficientes indeterminados
    \( y_p = (Ax^2 + Bx + C)e^{3x} + D \)
El coeficiente D lo podemos obtener directamente y viene dado por D = 6/9 = 2/3. Para los otros coeficientes, tenemos:
    \( \begin{array}{l} y^\prime = (Ax^2 + Bx + C)3e^{3x} + (2Ax + B)e^{3x} \\ \\ y^{\prime \prime} = (Ax^2 + Bx + C)9e^{3x} + 2(2Ax + B)3e^{3x} + 2A3e^{3x} \end{array} \)
Y reorganizando términos y sustituyendo:
    \(\begin{array}{l} e^{3x}\Big[9Ax^2 + (9B + 12A)x + (9C + 6B + 2A)\Big] + \\  \\ + 9e^{3x}\Big(ax^2 + Bx + C \Big) = x^2e^{3x} \end{array} \)
Dividiendo todos los términos por los factores comunes e igualando coeficientes, nos queda:
    \( \begin{array}{l} 9A + 9A = 1 \rightarrow A = 1/18 \\ \\ 9B + 12A + 9B = 0 \rightarrow B = - 1/27 \\ \\ 9C + 6B + 2A + 9C = 0 \rightarrow C = 1/162 \end{array} \)
Con lo que la solución particular buscada es:
    \( \displaystyle y_p = \Big (ax^2 + Bx + C \Big) e^{3x} + D = \left(\frac{x^2}{18} + \frac{x}{27} + \frac{1}{162}\right)e^{3x} + \frac{2}{3} \)
Y la solución de la ecuación completa será:
    \( \displaystyle y_G = y_h + y_p = C_1\cos 3x + C_2\sin 3x + \left(\frac{x^2}{18} + \frac{x}{27} + \frac{1}{162}\right)e^{3x} + \frac{2}{3} \)
Ejercicios resueltos - problemas resueltos - ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS


tema escrito por: José Antonio Hervás