Ejercicios de ecuaciones diferenciales
Resolver la ecuación diferencial siguiente:
\( u^{\prime \prime} + w_0^2·u = \cos w_0t \)
Respuesta al ejercicio 34
En este caso, como en el ejercicio 33, tenemos una ecuación
diferencial lineal completa y para resolverla debemos calcular
primero la ecuación homogénea correspondiente y
después encontrar la solución particular de la completa,
es decir:
\( u^{\prime \prime} + w_0^2·u = 0 \rightarrow (D^2 + w_0^2)u
= 0 \; ; \; r^2 + w_0^2 \rightarrow r = \pm i·w_0\)
Con lo que la solución de la ecuación diferencial
homogénea será:
\( u_h = C_1·\cos w_0t + C_2 · \sin w_0t \)
Para encontrar la solución particular de la completa, empleamos
el método de variación de constantes, es decir:
\( u = C_1(t)·\cos w_0t + C_2(t) · \sin w_0t \)
Derivando una vez resulta:
\( \begin{array}{l}
u' = C'_1(t)·\cos w_0t - w_0C_1(t)·\sin w_0t + \\
\\
+ C'_2(t) · \sin w_0t + w_0C_2(t) · \cos w_0t
\end{array}\)
De donde podemos tomar:
\( C'_1(t)·\cos w_0t + C'_2(t) · \sin w_0t \)
Y derivando el resto:
\( u^{\prime \prime} = - w_0C'_1(t)·\sin w_0t - w_0^2C_1(t)·\cos
w_0t + \)
\( + w_0C'_2(t)·\cos w_0t - w_0^2C_2(t)·\sin w_0t \)
Con lo que resulta:
\( - w_0C'_1(t)·\sin w_0t + w_0C'_2(t)·\cos w_0t = \cos w_0t
\)
Y podemos formar el sistema:
\( \begin{array}{l} C'_1(t)·\cos w_0t + C'_2(t) · \sin w_0t
\\ \\ - w_0C'_1(t)·\sin w_0t + w_0C'_2(t)·\cos w_0t = \cos w_0t
\end{array} \)
Operando algebraicamente para despejar cada una de las constantes
C1 y C2, tenemos:
\( \begin{array}{l}
w_0C'_2(t)·\sin^2 w_0t + w_0^2C'_2(t)·\cos^2 w_0t = \cos^2 w_0t \rightarrow \\
\\
\Rightarrow w_0^2C'_2(t) = \cos^2 w_0t
\end{array}\)
E integrando:
\( \displaystyle\begin{array}{l}
C_2(t) = \frac{1}{w_0}\int \cos^2 w_0t·dt = \frac{1}{w_0} \int \frac{1 + \cos 2w_0t}{2}·dt = \\
\\
= \frac{1}{w_0}\left[\frac{t}{2} + \frac{\sin 2w_0t}{4·w_0}\right]
\end{array} \)
Y de modo análogo
\( w_0C'_1(t)·\cos^2 w_0t + w_0C'_1(t)·\sin^2 w_0t = - \cos
w_0t \times \sin w_0t \)
Y simplificando:
\( w_0C'_1(t) = - \cos w_0t · \sin w_0t \rightarrow C_1(t) =
\)
\( \displaystyle - \frac{1}{w_0} \int \cos w_0t · \sin w_0t
·dt = - \frac{\sin^2 w_0t}{2·w_0} \)
Con lo que la solución particular de la ecuación
dada es:
\(\displaystyle u_p = C_1(t) · \cos w_0t + C_2(t) · \sin w_0t
= \frac{t}{2w_0}· \sin w_0t \)
Y la solución general valdrá:
\( \displaystyle u_G = C_1(t) · \cos w_0t + C_2(t) · \sin w_0t
+ \frac{t}{2w_0}· \sin w_0t \)