PROBLEMAS RESUELTOS DE MATEMÁTICAS
ejercicios resueltos de ecuaciones diferenciales ordinarias

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Ejercicios resueltos de Ecuaciones Diferenciales

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Ejercicios de ecuaciones diferenciales

Respuesta al ejercicio 34

En este caso, como en el ejercicio 33, tenemos una ecuación diferencial lineal completa y para resolverla debemos calcular primero la ecuación homogénea correspondiente y después encontrar la solución particular de la completa, es decir:
    \( u^{\prime \prime} + w_0^2u = 0 \rightarrow (D^2 + w_0^2)u = 0 \; ; \; r^2 + w_0^2 \rightarrow r = \pm iw_0\)
Con lo que la solución de la ecuación diferencial homogénea será:
    \( u_h = C_1\cos w_0t + C_2 \sin w_0t \)
Para encontrar la solución particular de la completa, empleamos el método de variación de constantes, es decir:
    \( u = C_1(t)\cos w_0t + C_2(t) \sin w_0t \)
Derivando una vez resulta:
    \( \begin{array}{l} u' = C'_1(t)\cos w_0t - w_0C_1(t)\sin w_0t + \\  \\ + C'_2(t) \sin w_0t + w_0C_2(t) \cos w_0t \end{array}\)
De donde podemos tomar:
    \( C'_1(t)\cos w_0t + C'_2(t) \sin w_0t \)
Y derivando el resto:
    \( u^{\prime \prime} = - w_0C'_1(t)\sin w_0t - w_0^2C_1(t)\cos w_0t + \)

    \( + w_0C'_2(t)\cos w_0t - w_0^2C_2(t)\sin w_0t \)
Con lo que resulta:
    \( - w_0C'_1(t)\sin w_0t + w_0C'_2(t)\cos w_0t = \cos w_0t \)
Y podemos formar el sistema:
    \( \begin{array}{l} C'_1(t)\cos w_0t + C'_2(t) \sin w_0t \\ \\ - w_0C'_1(t)\sin w_0t + w_0C'_2(t)\cos w_0t = \cos w_0t \end{array} \)
Operando algebraicamente para despejar cada una de las constantes C1 y C2, tenemos:
    \( \begin{array}{l} w_0C'_2(t)\sin^2 w_0t + w_0^2C'_2(t)\cos^2 w_0t = \cos^2 w_0t \rightarrow \\  \\ \Rightarrow w_0^2C'_2(t) = \cos^2 w_0t \end{array}\)
E integrando:
    \( \displaystyle\begin{array}{l} C_2(t) = \frac{1}{w_0}\int \cos^2 w_0tdt = \frac{1}{w_0} \int \frac{1 + \cos 2w_0t}{2}dt = \\  \\ = \frac{1}{w_0}\left[\frac{t}{2} + \frac{\sin 2w_0t}{4w_0}\right] \end{array} \)
Y de modo análogo
    \( w_0C'_1(t)\cos^2 w_0t + w_0C'_1(t)\sin^2 w_0t = - \cos w_0t \times \sin w_0t \)
Y simplificando:
    \( w_0C'_1(t) = - \cos w_0t \sin w_0t \rightarrow C_1(t) = \)


    \( \displaystyle - \frac{1}{w_0} \int \cos w_0t \sin w_0t dt = - \frac{\sin^2 w_0t}{2w_0} \)
Con lo que la solución particular de la ecuación dada es:
    \(\displaystyle u_p = C_1(t) \cos w_0t + C_2(t) \sin w_0t = \frac{t}{2w_0} \sin w_0t \)
Y la solución general valdrá:
    \( \displaystyle u_G = C_1(t) \cos w_0t + C_2(t) \sin w_0t + \frac{t}{2w_0} \sin w_0t \)
Ejercicios resueltos - problemas resueltos - ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS


tema escrito por: José Antonio Hervás