PROBLEMAS RESUELTOS DE MATEMÁTICAS
ejercicios resueltos de ecuaciones diferenciales ordinarias

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Ejercicios resueltos de Ecuaciones Diferenciales

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Ejercicios de ecuaciones diferenciales

Respuesta al ejercicio 33

En este caso tenemos una ecuación diferencial lineal completa y para resolverla debemos calcular primero la ecuación homogénea correspondiente y después encontrar la solución particular de la completa, es decir:
    \( y_G = y_h + y_p \)
Hacemos entonces:
    \( \displaystyle \begin{array}{l} y^{\prime \prime} + y^\prime + 4y = 0 \; ; \; (D^2 + D + 4)y = 0 \; ; \\  \\ \; r^2 + r + 4 = 0 \; ; \; r = \frac{-1 \pm i\sqrt{15}}{2} \end{array}\)
Y la solución de la ecuación diferencial homogénea será:
    \( \displaystyle y_h = e^{-x/2}\left(C_1 \times \cos \frac{\sqrt{15}}{2}x + C_2 \times \sin \frac{\sqrt{15}}{2}x\right) \)
Tenemos ahora que encontrar una solución particular de la completa. Para ello aplicamos el método de los coeficientes indeterminados. Tenemos previamente:
    \( \displaystyle 2\sinh x = 2 \times \left(\frac{e^x - e^{-x}}{2}\right) = e^x - e^{-x} \)
Y a partir de ahí:
    \( y_p = Ae^x + Be^{-x} \)
Derivando dos veces y sustituyendo en la expresión general, nos queda:
    \( (Ae^x + Be^{-x})+ (Ae^x - Be^{-x}) + 4(Ae^x + Be^{-x}) = e^x - e^{-x} \)
O, lo que es igual:
    \( 6Ae^x + 4Be^{-x} = e^x - e^{-x} \)
Expresión que, después de igualar coeficientes e identificar parámetros, nos permite escribir la solución general en la forma:
    \( \displaystyle y_G = y_h + y_p = e^{-x/2}\left(C_1 \times \cos \frac{\sqrt{15}}{2}x + C_2 \times \sin \frac{\sqrt{15}}{2}x\right) + \frac{e^x}{6} - \frac{e^{-x}}{4} \)
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tema escrito por: José Antonio Hervás