PROBLEMAS RESUELTOS DE MATEMÁTICAS
ejercicios resueltos de ecuaciones diferenciales ordinarias

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Ejercicios resueltos de Ecuaciones Diferenciales

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Ejercicios de ecuaciones diferenciales

Respuesta al ejercicio 30

La ecuación pertenece a uno de los tipos en los que se puede reducir el orden, ya que sus términos son de la forma \( x^n y^{(n)} \) . Si hacemos \(x = e^t\) resulta:
    \( xy' = \dot{y} \; ; \; x^2y^{\prime \prime} = \ddot{y} - \dot{y} \; ; \; x^n y^{(n)} = \dot{D}(\dot{D} - 1) [\dot{D} - (n-1)]y\)
y la ecuación inicial nos queda en la forma:
    \( (\ddot{y} - \dot{y}) + 2\dot{y} - 12y = 0 \Rightarrow \ddot{y} + \dot{y} - 12y = 0 \)
Que es una ecuación diferencial lineal y de coeficientes constantes. Aplicando el método general de resolución de este tipo de ecuaciones obtenemos:
    \( (D^2 + D - 12)y = (D - 3)(D+4)y \)
Lo que nos da una solución de la forma:
    \( y(t) = C_1 e^{3t} + C_2 e^{-4t} \)
Y deshaciendo el cambio de variable:
    \( \displaystyle x = e^t \Rightarrow t = \ln x \; ; \; nt = n \ln x = \ln x^n \; \Rightarrow \; y(t) = C_1x^3 + \frac{C_2}{x^4} \)
Que es la solución buscada.
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tema escrito por: José Antonio Hervás