PROBLEMAS RESUELTOS DE MATEMÁTICAS
ejercicios resueltos de ecuaciones diferenciales ordinarias

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Ejercicios resueltos de Ecuaciones Diferenciales

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Ejercicios de ecuaciones diferenciales

Respuesta al ejercicio 28

La resolución el polinomio auxiliar nos permite escribir:
    \( D^2 - 2D + 4 = 0 \quad \left\{\begin{array}{l} D_1 = 1 + \sqrt{-3} = 1 + i\sqrt{3} \\ \\ D_2 = 1 - \sqrt{-3} = 1 - i\sqrt{3} \end{array}\right. \)
Con lo que la solución general queda en la forma:
    \( \begin{array}{l} y(x) = C_1e^{(1+i\sqrt{3})x} + C_2e^{(1-i\sqrt{3})x} = \\  \\ = e^x\left(C_1e^{(+i\sqrt{3})x} + C_2e^{(-i\sqrt{3})x}\right) \quad (*) \end{array}\)
Pero recordando la relación que hay entre los exponenciales complejos y las funciones trigonométricas, podemos poner:
    \( \begin{array}{l}
    e^{ix} = \cos x + i·\sin x \; ; \; e^{-ix} = \\
     \\
    = \cos (-x) + i·\sin (-x) = \cos x - i·\sin x
    \end{array}\)
Y a partir de ahí, la expresión entre paréntesis de (*) se puede escribir :
    \( C_1(\cos \sqrt{3}x + i\sin\sqrt{3}x) + C_2(\cos \sqrt{3}x - i\sin\sqrt{3}x) \)
O reagrupando términos:
    \( (C_1 + C_2) \cos \sqrt{3}x + i(C_1 - C_2)\sin \sqrt{3}x \)
Por lo que la solución general se puede escribir:
    \( \begin{array}{l} y(x) = e^x \left(K_1\cos \sqrt{3}x + K_2\sin \sqrt{3}x \right) \; \\  \\ \textrm{ con } K_1 = (C_1 + C_2) \; ; \; K_2 = i(C_1 - C_2) \end{array}\)
Ejercicios resueltos - problemas resueltos - ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS


tema escrito por: José Antonio Hervás