PROBLEMAS RESUELTOS
DE MATEMÁTICAS
ejercicios resueltos de ecuaciones diferenciales

Ver enunciado del ejercicio en:

Ejercicios resueltos de Ecuaciones Diferenciales

Estás en :
Matemáticas y Poesía >

Problemas resueltos

 

Ejercicios de ecuaciones diferenciales

La ecuación diferencial:
    \( \displaystyle x^2 y^{\prime \prime} + xy^\prime + \left(x^2 - \frac{1}{4}\right)y = 0 \)
Tiene una solución dada por:
    \( \displaystyle y_1 = \frac{\sin x}{\sqrt{x}} \)
Demostrar que:
    \( \displaystyle y_2 = \frac{\cos x}{\sqrt{x}} \)
Es también solución de dicha ecuación.

Respuesta al ejercicio 26

Si consideramos la fórmula de Abel – Liouville, para el cálculo de una solución de una ecuación diferencial conociendo otra, tenemos:
    \(y_2 = \displaystyle y_1 \int\frac{\exp \displaystyle \int -p(x)dx}{y_1^2} dx \)
Calculando la integral del numerador resulta:
    \( \displaystyle \exp \int - p(x)dx = \exp \int - \frac{1}{x}dx = \exp [- \ln x] = \frac{1}{x} \)
Según eso, la solución buscada vendrá dada por:
    \( \displaystyle y_2 = \frac{\sin x}{\sqrt{x}} \int \frac{dx}{x\left(\displaystyle \frac{\sin x}{\sqrt{x}}\right)^2} = \frac{\sin x}{\sqrt{x}} \int \frac{dx}{\sin^2 x} = \frac{\sin x}{\sqrt{x}}\cot x = \frac{\cos x}{\sqrt{x}} \)
Que es adonde queríamos llegar y podemos decir que la solución encontrada lo es de la ecuación del enunciado.
Ejercicios resueltos - problemas resueltos - ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS
Otros usuarios de Matemáticas y poesía también han visto:




tema escrito por: José Antonio Hervás